Существуют ли два числа,записываемые только цифрами 7 и 9,произведение которых тоже записываются только семёрками и девятками?

В десятеричной системе счисления - нет.
Доказывается простым поразрядным анализом: ясно, что последняя цифра обоих чисел должна быть равна 7, тогда предпоследняя цифра результата равна остатку от деления предпоследних цифр каждого числа на 7 плюс 4, а это возможно только в одном случае, а именно когда из чисел вообще не имеет предпоследней цифры (то есть равно 7), а предпоследняя цифра другого числа равна 9. После чего выясняется, что нам придётся до бесконечности приписывать к большему множителю ведущие девятки, и всегда первая цифра результата будет 6.