Подані координати вершин трикутника авс: а (6,6,5), в (4,9,5), с (4,6,11). знайти: а) довжину та рівняння медіани ае; б) площу трикутника; в) косинус кута в; г) довжину висоти ад; д) рівняння прямої , яка проходить через точку е паралельно прямій ав.

Сначала надо определить длины сторон треугольника по формуле: А₁А₂ = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²).
Подставив координаты вершин треугольника в эту формулу, получаем: AB = 3,6056; BC = 6,708; AC = 6,3246.
Теперь можно перейти в плоскость треугольника и определить его параметры :
а)  Медиана, соединяющая вершину  треугольника А с серединой стороны а равна ma = (1/2)*√(2b²+2c²-a²) =
= (1/2)*√(2*6,3246²+2*3,6056²-6,708²) =  3,605551.
Для определения уравнения АЕ надо сначала найти координаты точки Е:
xe =xc + ((xb - xc)/2) = 4 + ((4-4)/2) = 4;
ye = yc + ((yb - yc)/2) = 6 + ((9-6)/2) = 7,5;
zc = zc + ((zb - zc)/2) = 11 +((5-11/2) = 11-3 = 8.
Уравнение прямой, проходящей через точки  A(6;6;5) и Е(4;7,5;8).
Направляющим вектором прямой будет АЕ(4-6=-2) (7,5-6=1,5) (8-5=3) = (-2; 1,5; 3)
AE = (x-xa) / (xe-xa) = (y-ya) / (ye - ya) = (z - za) / (ze - za) 
 Отсюда уравнение прямой имеет вид:
AE = (x - 6) / (4 - 6) = (y - 6) / (7,5 - 6) = (z - 5) / (8 - 5)
AE = (x - 6) /-2= (y - 6) / 1,5 = (z - 5) / 3
 Уравнение в параметрическом виде имеет вид:
x = 6 - 2t
y = 6 + 1,5t
z = 5 + 3t
в) Площадь треугольника определяем по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √( 8,3191(8,3191-6,708)(8,3191-  6,3246)(8,3191- 3,6056)) =  11,2250.
в) косинус кута В = (a²+c²-b²) / (2ac) = 0,37205
г) довжину висоти АД = (2(√(p(p-a)(p-b)(p-c)) / a = 3,346764
д) рівняння прямої , яка проходить через точку Е паралельно прямій АВ:
направляющий вектор будет соответствовать вектору АВ:
(4-6 = -2), (9-6 = 3), (5-5 = 0)
Тогда (x - 4) / -2 = (y - 7,5) / 3 = (z -8) / 0    (здесь не деление на 0, означает постоянство параметра)