На доске написано 2013 нулей, единиц 2014 и 2015 двоек. за один шаг разрешается стереть любые две различные цифры и вместо них записать третью по следующему правилу: вместо нуля и единицы записывается цифра 2, вместо нуля и двойки - единица, вместо единицы и двойки - ноль. после многократного выполнения такой операции на доске осталась одна цифра. какая именно?

ответ: 1
так как его четность отлична от 0 и 2 
То есть количество 1 четно, а количество 0 и 2 нечетно.
Например
 1)если в начальный момент убрать 0 и 1 но добавить 2
   получаем четное 0 (2012) и 2 (2016), а 1 нечетно (2013)
2)если в начальный момент убрать 0 и 2 но добавить 1
   получаем четное 0 (2012) и 2 (2014), а 1 нечетно (2015)
3)если в начальный момент убрать 1 и 2 но добавить 0
   получаем четное 0 (2014) и 2 (2014), а 1 нечетно (2013)
и так далее, значит четность единицы всегда будет отлична от других.
Поэтому только она одна может остаться одна когда  два других будут равны нулю.