Два комбайнёра, работая вместе, могут собрать урожай пшеницы за 8ч.если бы они работали вместе 2ч.,а потом первый комбайнёр перестал работать, то второй собрал оставшуюся часть за18ч. за какое время каждый комбайнёр в отдельности может собрать весь урожай пшеницы? ​

X км/час- скорость поезда по расписанию. (x+10)- скорость поезда после остановки. 80/x- время движения поезда на перегоне по расписанию, 80/(x+10)-время движения поезда по перегону в действительности. так как по условию задачи поезд ликвидировал опоздание, то : 80/x-80/(x+10)=16/60; наименьший общий знаменатель: 60x*(x+10). дополнительные множители: для первой дроби: 60*(x+10), для второй дроби: 60*x, для третьей дроби: x*(x+10). 4800x+48000-4800x=16x^2+160x; -16x^2-160x+48000=0; x^2+10x-3000=0; D=10^2-4*1*(-3000)=100+12000=12100; x1=(-10-110)/2, x2=(-10+110)/2. x1= -60(не подходит по смыслу задачи), x2=50 км/час. ответ: скорость поезда по расписанию равна 50 км/час.

Для начала преобразуем уравнение формулы косинуса двойного угла:



Вводим замену



Помним, что t - это не просто переменная , а косинус, который пробегает лишь отрезок [-1,1], то есть
                                                

Чтобы найти необходимые границы для косинуса,

рассмотрим рисунок. Красным  обозначен интересующий отрезок.  Когда же на данном отрезке будет только один корень? Ну, граничные случаи видны сразу. Это и . Эти прямые проводим через данные точки, они выделены синим и красным. Почему это граничные точки? Пусть t заключено между этими прямыми. Если t = -1, то, как видно, всего одна точка общая с прямой t=-1 и окружностью(напомню, что прямая вида t = a - задаёт значение а косинуса угла на окружности). Тем более, если такие прямые лежат между синей и красной(эта область заштрихована синим). Здесь показана одна из таких прямых(зелёная). Как видим, она имеет с данным отрезком только одну точку пересечения, что нам и нужно. А вот прямая    нам не подходит. В этой точке прямая пересекает наш отрезок дважды(в верхней полуокружности и в нижней). Значит, заведомо будет две серии решений, в каждой из которых по корню будут содержаться на этом отрезке(а нам нужен только один корень на отрезке). Соответственно, в правой области(она заштрихована красным), ТЕМ БОЛЕЕ это не выполняется.  Помимо этого можно увидеть, что прямая t = 1 тоже нам подходит(ровно одна точка пересечения с окружностью).

То есть, нам подходят только такие t, что и .

Рассмотрим теперь квадратное уравнение.
Для начала стоит рассмотреть "изолированные" точки    .

1)Пусть     . Подставляя в квадратное уравнение, найдём отсюда соответствующее а:
                                  
Проверка:
        
Первый корень явно лишний(косинус не может достигать -2). То есть, видим, у нас есть лишь уравнение , устраивающее нас(его серия решений содержит единственный корень на отрезке) - a = 2 условию задачи удовлетворяет.

2)
     
    Проверяем:
     или
  Здесь уже к корню t = -1 добавился корень t = 0. Уравнение вновь имеет единственный корень на нашем отрезке(видно на круге). То есть, каждое t дало по одному корню на отрезке, в сумме - два корня для исходного уравнения.   a = -2 нам абсолютно не подходит.

3)Пусть теперь . Здесь надо быть поаккуратнее, поскольку необходимо отслеживать число корней квадратного уравнения и промежутки, в которых они находятся. Количество корней зависит от дискриминанта. Найдём его.
 
       а)Если , то корней квадратное уравнение не имеет - на нет и суда нет.
       б)Если , то уравнение имеет один корень. Найдём его.
              
          Подсталвяем параметр в наше квадратное уравнение:
          - такое значение t вписывается в наш промежуток для t, поэтому условию задачи удовлетворяет.
      
        в) Самый сложный случай. Уравнение имеет два корня. Как же тогда получить в точности один корень на нужном отрезке? ответ прост: один корень должен вписываться в промежуток для t(там гарантированно будет одно решение на отрезке), а второй - не принадлежать ему(тогда гарантированно второй корень t не даст прибавку в подходящих x). Смотрите второй рисунок: либо меньший корень не принадлежит отрезку, либо больший.

Записываем для данной ситуации необходимые и достаточные условия.
  или
Замечу, что при этом условие D > 0 уже не требуется: оно выполнено автоматически(если выполняются указанные системы, то это "опускает" параболу ниже оси OX, поэтому уравнение автоматически имеет два корня, а, стало быть, и D > 0).
 Находим теперь значения параболы в указанных точках.   
   
           

Решаем первую систему: 
                      ∈

Вторая система решений не имеет.
Добавляя к этому интервалу ещё точки и (не вошедшие сюда), записываем
ответ: ∈,