Полином с целыми коэффициентами, при целых значениях аргумента x1, x2, принимает значение +- 1. докажите, что, данный полином не имеет рациональных корней, если |x1 - x2| > 2 и, если |x1 - x2| < = 2, то корнем может быть только (x1 + x2)/2.( 666 xd)

Добрый день!

Рассмотрим полином с целыми коэффициентами:
P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0

Дано, что при целых значениях аргумента x1 и x2 полином принимает значение +- 1. Это означает, что при подстановке x1 и x2 в полином, мы получим либо значение 1, либо значение -1.

Теперь докажем первое утверждение: если |x1 - x2| > 2, то данный полином не имеет рациональных корней.

Предположим, что полином имеет рациональный корень p/q, где p и q - целые числа, причем q ≠ 0 и числа p и q не имеют общих делителей, кроме единицы. Запишем это условие в уравнении:

P(p/q) = a_n * (p/q)^n + a_{n-1} * (p/q)^{n-1} + ... + a_0 = 0

Умножим это уравнение на q^n (так как q ≠ 0, то q^n ≠ 0):

a_n * p^n + a_{n-1} * p^{n-1} * q + ... + a_0 * q^n = 0

Мы знаем, что данное уравнение должно быть удовлетворено целыми числами p и q. Рассмотрим остатки каждого слагаемого уравнения при делении на q:

a_{n-1} * p^{n-1} * q + ... + a_0 * q^n ≡ 0 (mod q)

То есть, все слагаемые, кроме первого слагаемого, делятся на q без остатка. Но так как q ≠ 0, то q и p^n должны делиться на a_n без остатка. Значит, p должно делиться на a_n.

Рассмотрим значение полинома в точке x = x1:

P(x1) = a_n * x1^n + a_{n-1} * x1^{n-1} + ... + a_0 ≡ 0 (mod q)

Аналогично, можно рассмотреть значение полинома в точке x = x2:

P(x2) = a_n * x2^n + a_{n-1} * x2^{n-1} + ... + a_0 ≡ 0 (mod q)

Из условия задачи мы знаем, что P(x1) и P(x2) равны либо 1, либо -1. Предположим, что P(x1) = P(x2) = 1. Тогда:

a_n * x1^n + a_{n-1} * x1^{n-1} + ... + a_0 ≡ 0 (mod q)
a_n * x2^n + a_{n-1} * x2^{n-1} + ... + a_0 ≡ 0 (mod q)

Вычтем второе уравнение из первого:

a_n * (x1^n - x2^n) + ... ≡ 0 (mod q)

Так как x1 и x2 - целые числа, то x1^n и x2^n также являются целыми числами, и их разность тоже будет являться целым числом. Также, все слагаемые, кроме первого, имеют делитель q. Это значит, что a_n должно делиться на q без остатка.

Итак, мы получили, что p и q оба делятся на a_n и на q. Но числа p и q не имеют общих делителей, кроме единицы. Значит, a_n должно быть равно 1 или -1.

Теперь рассмотрим второе утверждение: если |x1 - x2| ≤ 2, то корнем может быть только (x1 + x2)/2.

Прежде всего, заметим, что |x1 - x2| ≤ 2 эквивалентно тому, что |x1 - x2| < 2 или |x1 - x2| = 2.

Предположим, что полином имеет рациональный корень p/q, где p и q - целые числа, причем q ≠ 0 и числа p и q не имеют общих делителей, кроме единицы.

Рассмотрим модуль разности x1 и x2:

|x1 - x2| = |(p/q) - (x1 + x2)/2| = |(2p - qx1 - qx2)/2q|

Если |x1 - x2| < 2, то числитель (2p - qx1 - qx2) должен быть меньше чем 2q.

Рассмотрим сумму x1 + x2:

x1 + x2 = (p/q) + (x1 + x2)/2 = (2p + qx1 + qx2)/2q

Если |x1 - x2| = 2, то числитель (2p - qx1 - qx2) должен равняться 2q.

Но мы знаем, что числитель (2p - qx1 - qx2) должен быть меньше чем 2q, а затем равняться 2q. Это возможно только при условии, что числитель равен нулю.

Таким образом, (2p - qx1 - qx2) = 0, что можно переписать в виде:

2p = qx1 + qx2

Итак, мы получили, что 2p делится на q. Но так как p и q не имеют общих делителей, кроме единицы, то q должно быть равно 2.

Теперь, зная q = 2, заметим, что уравнение 2p = qx1 + qx2 можно переписать в виде:

p = (x1 + x2)/2

То есть, корнем может быть только (x1 + x2)/2.

Таким образом, мы доказали, что если |x1 - x2| > 2, то данный полином не имеет рациональных корней, и если |x1 - x2| ≤ 2, то корнем может быть только (x1 + x2)/2.