Воспользуемся неравенством Коши для среднего арифметического и среднего геометрического n неотрицательных чисел 
![\frac{a_1+a_2+\ldots + a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n},](/tpl/images/0229/6767/a5988.png)
которое можно переписать в виде
![a_1+a_2+\ldots + a_n\ge n\cdot \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.](/tpl/images/0229/6767/cc3c6.png)
В нашем случае получаем
![\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4\cdot \sqrt[4]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{a}}=4](/tpl/images/0229/6767/95015.png)
Скористаємось нерівністю Коші
a/b + b/c ≥ 2√(a/b·b/c); a/b + b/c ≥ 2√(a/c);
c/d + d/a ≥ 2√(c/d·d/a); c/d + d/a ≥ 2√(c/a);
a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 2√(a/c) + 2√(c/a) ≥ 2√(2√(a/c) · 2√(c/a))
a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4√(√((a/c) · (c/a)));
a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4√(√1);
a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4
