Занятия кружка проходят в девяти аудиториях. среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы. а) докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников. б) верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

Принцип Дирихле...
а) Пусть это не так, и в каждой аудитории меньше трёх таких школьников, т.е. не больше двух. Тогда всего таких школьников не больше 9 * 2 = 18. Противоречие.
б) Нет. Занумеруем аудитории 1..9. В каждую из первых восьми посадим по одному такому школьнику, а в девятую оставшихся 11.