IV. Тригонометрия. Решение треугольника.
Упрощение тригонометрических выражений.
1. Реши треугольник и найди его площадь, если
a) b = 14 дм, а = 54°, B = 72°;
b) a = 22 мм , b = 40 мм, Y = 42°;
c) a = 18см, b = 12 см, с = 10 см.
2. Ярко светит солнце и с верхушки трубы видно землю под углом 52°.
Найди высоту трубы, если длина тени отбрасываемая трубой равна 7,2 м.

1a) За теоремою синусів:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

a / sin 54° = 14 / sin 72°

a = 14 * sin 54° / sin 72° ≈ 10.62 дм

Тепер знайдемо кут C:

C = 180° - A - B = 180° - 54° - 72° = 54°

За формулою Герона знайдемо площу трикутника:

p = (a + b + c) / 2 = (10.62 + 14 + c) / 2 ≈ 17.31 дм

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(17.31(17.31-10.62)(17.31-14)(17.31-c)) ≈ 57.46 дм²

Отже, площа трикутника дорівнює близько 57.46 дм².

1b) За теоремою синусів:

a / sin Y = b / sin B = c / sin C

c = √(a² + b² - 2ab*cos Y)

c = √(22² + 40² - 2*22*40*cos 42°) ≈ 33.37 мм

Знайдемо кут C:

C = 180° - Y - B = 180° - 42° - 180° + arcsin((b*sin Y) / c) = arcsin((22*sin 42°) / 33.37) ≈ 28.05°

За формулою Герона знайдемо площу трикутника:

p = (a + b + c) / 2 = (22 + 40 + 33.37) / 2 ≈ 47.69 мм

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(47.69(47.69-22)(47.69-40)(47.69-33.37)) ≈ 395.41 мм²

Отже, площа трикутника дорівнює близько 395.41 мм².

1c) За теоремою косинусів:

c² = a² + b² - 2ab*cos C

cos C = (a² + b² - c²) / 2ab

cos C = (18² + 12² - 10²) / (2 * 18 * 12) = 23 / 36

C = arccos(23 / 36) ≈ 49.77°

За формулою Герона знайдемо площу трикутника:

p = (a + b + c) / 2 = (18 + 12 + 10) / 2 = 20

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(20(20-18)(20-12)(20-10)) = √(