1. Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите два таких числа.
2. Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 3, и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите хотя бы одно такое число.
3. Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите два возможных варианта этих чисел.
4. Найдите четырёхзначное число, большее 1500, но меньшее 2000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 21. В ответе укажите все возможные числа.
5*. На складе имеются ножи и вилки. Общее число тех и других больше 300, но меньше 400. Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и целое число дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если ножей было на 160 меньше, чем вилок?
Пусть длина палки равна 1. По условию задачи, если взять любые три кусочка, то сумма длин двух наименьших из них не больше длины самого длинного из них. Расположим кусочки в порядке убывания их длин: 
Требуется доказать, что 
Предположим противное, то есть что 
По условию 
При этом 
Идем по цепочке дальше. По условию 
, при этом 
. Продолжая этот процесс, получаем 
Суммируя, получаем 
Полученное противоречие (ведь сумма длин кусочков должна равняться 1) доказывает требуемое утверждение.
Замечание. Для тех, кто устал от этих выкладок - простое рассуждение без чисел. Первый (самый длинный кусок) лежит в первой трети отрезка [0;1]. Остаются две трети отрезка [0;1]. Пусть это отрезок [b;c]. Второй и третий куски лежат в его первой половине, а поскольку третий занимает не больше половины места, четвертый и пятый займут не больше половины от правой половины, и так далее. Сами додумайте до конца.
