15
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим ΔМАE. По условию задачи ∠ АМN=110° .
Значит ∠AМC=180-110=70° (т.к. развернутый угол = 180°).
Т.к. сумма углов Δ=180°, найдем ∠CAМ =180-90-70=20°.
По условию задачи ∠MAN=∠NAB =∠CAМ=20°.
Рассмотрим ∠ EAF.
По условию задачи ∠ BFM=110°. Значит ∠EFA = 180-110=70°. Т. к ∠EAF=20°, то ∠АЕF= 180-70-20=90°. Отсюда следует, что и угол ∠ АЕМ=90°.
Получается, что мы имеем два прямоугольных треугольника ΔАСМ и ΔЕАМ. У этих треугольников равны все три угла и общая гипотенуза:
∠АСМ=∠AЕМ=90°
∠МАС=∠ЕАМ=20°
∠АМС=∠АМЕ=70°
АМ-общая гипотенуза. Значит эти треугольники равны между собой по катету и строму углу. Отсюда следует, что катеты АС=АЕ= 7,5.
Теперь рассмотрим ΔАВС.
∠ АСВ=90°
∠САВ=∠САМ+∠МАN+∠МАF=20+20+20=60°.
Значит ∠ АВС=180-60-90=30°.
Мы нашли, что в ΔАВС катет АС=7,5. Зная, что против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, найдем гипотенузу АВ: 7,5*2=15.
ответ: АВ=15.
АЕ = 11 ед.
Пошаговое объяснение:
∠CAM = ∠MAN = ∠NAB = х (дано).
Тогда 3х + ∠В = 90° (1) (сумма острых углов треугольника равна 90°).
В треугольнике АМВ имеем: 2х + ∠В = 180° -110° (2) (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
Вычитаем из (1) (2) и получаем х = 20°.
Следовательно, ∠A = 60°, а ∠В = 30°.
Против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
АС = АВ:2 = 11 ед.
В треугольнике АМF угол ∠MAF = 40° (2х), тогда
∠AMF = 180° - 40° - 70° = 70°.
Таким образом, треугольник MAF - равнобедренный (углы при основании равны) и по свойству равнобедренного треугольника биссектриса АЕ является и высотой, а АМ = AF.
Тогда прямоугольные треугольники АСМ и АЕM равны по гипотенузе и острому углу (АМ - общая, ∠CAM = ∠MAЕ).
Следовательно, АЕ = АС = 11 ед.
