Задача 1. В треугольнике ABC АВ=ВС=АС. На его сторонах взяты M, Р и K, так что АМ:МВ=ВР:РС=СК:КА=1:3. Докажите, что треугольник МРК равносторонний
Задача 2.
На одной стороне угла с вершиной А отмечены точки О и В, на другой стороне – C и Е так, что AD=AC=3см, AB=AE=4см. Докажите, что ВС=ED и KB=KE, где K – точка пересечения отрезков BC и ED.
Задача 3.
ABC и A1B1C1 - равнобедренные треугольники с основаниями AC и A,C, точки М и ма – середины сторон BC и BC1, АВ=А, В1, AM=А, М. Докажите, что треугольники ABC и АВ,С1 равны.

Задача 1:

Дано: В треугольнике ABC АВ=ВС=АС и АМ:МВ=ВР:РС=СК:КА=1:3.

Доказательство:
1. Поскольку в треугольнике АВ=ВС=АС, это означает, что треугольник ABC является равносторонним.
2. Предположим, что треугольник МРК не равносторонний.
3. Рассмотрим отношение длин сторон треугольника МРК: МР:РК=1:3.
4. Поскольку в треугольнике АВС АВ=ВС, а в треугольнике МРК МР:РК=1:3, то можно сделать вывод, что длина отрезка АК в треугольнике АВС должна быть в 4 раза больше длины отрезка МК в треугольнике МРК.
5. Однако, по условию АМ:МВ=1:3, что означает, что длина отрезка МК в треугольнике МРК должна быть в 4 раза меньше длины отрезка АК в треугольнике АВС.
6. Полученное противоречие показывает, что предположение о том, что треугольник МРК не равносторонний, неверно.
7. Следовательно, треугольник МРК является равносторонним.

Задача 2:

Дано: На одной стороне угла с вершиной А отмечены точки О и В, на другой стороне – C и Е, AD=AC=3см, AB=AE=4см.

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольник АВС. Поскольку AD=AC, то отрезок CD является медианой треугольника АВС.
2. Зная, что в треугольнике АВС медиана делит сторону пополам, можно сделать вывод, что DC=DA=AC/2=3/2 см.
3. Также, поскольку AB=AE, то отрезок ЕВ является медианой треугольника АВЕ.
4. Исходя из свойства медианы треугольника, BC=2*EB=2*DC=3 см.
5. Теперь рассмотрим треугольники ВКЕ и ВКВ. Поскольку ВКV и ВКВ - общие стороны, треугольники равны по двум сторонам.
6. Исходя из равенства треугольников, можно сделать вывод, что ВС=EK.
7. Также, рассмотрим треугольники ЕКD и АКD. Поскольку стороны ED и AD общие, треугольники равны по двум сторонам.
8. Исходя из равенства треугольников, можно сделать вывод, что KD=DA=DC.
9. Отсюда следует, что KD=DC=3/2 см.
10. Так как ВС=EK и KD=DC, можно сделать вывод, что ВС=EK=KD.
11. Следовательно, треугольник МРК равносторонний.

Задача 3:

Дано: Треугольники ABC и A1B1C1 - равнобедренные треугольники с основаниями AC и A1C1, АМ и Ма – середины сторон BC и BC1, АB=АB1, АМ=А, М.

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. Поскольку ABC и A1B1C1 - равнобедренные треугольники, AB=AB1 и АC=AC1.
2. Рассмотрим отрезки АМ и Ма, которые являются серединой сторон BC и BC1. По определению, Ма является серединой стороны BC1 и делит ее пополам, а АМ является серединой стороны BC и делит ее пополам.
3. Поскольку AB=AB1 и Ма делит BC1 пополам, то можно сделать вывод, что АВ=АМа. Аналогично, РМа=А и MB=Ра.
4. Теперь рассмотрим треугольники ABC и АВ,С1. Поскольку AB=AB1 и АВ=АМа, то две стороны треугольников равны.
5. Исходя из равенства сторон, можно сделать вывод, что треугольники ABC и АВ,С1 равны.