2. Даны два отрезка ЕК и РМ, причем ЕК ⊥ PM, E (-3;1), K (1;4) , M (2;1) , P(-4;0) . Найдите острый угол между прямыми РЕ и ЕК. Вычислите vec EK * vec MK - vec KE * vec KP .

Добрый день! С удовольствием помогу вам разобраться с задачей.

Перед тем, как приступить к решению, давайте разберемся с некоторыми понятиями, которые нам понадобятся.

1. Острый угол. Угол называется острым, если его величина меньше 90 градусов. Для нахождения острого угла между прямыми РЕ и ЕК, нам нужно найти угол между их направляющими векторами.

2. Направляющий вектор. Направляющий вектор прямой - это вектор, который параллелен этой прямой и задает ее направление. Он определяется по координатам двух точек, через которые проходит прямая.

Теперь приступим к решению задачи.

Шаг 1: Найдем направляющие векторы прямых РЕ и ЕК.

- Для прямой РЕ возьмем координаты точек R(-4;0) и E(-3;1). Рассчитаем разности координат по оси x и оси y:

Δx(RE) = x(E) - x(R) = -3 - (-4) = 1
Δy(RE) = y(E) - y(R) = 1 - 0 = 1

Таким образом, направляющий вектор прямой РЕ: vec RE = (1, 1).

- Для прямой ЕК возьмем координаты точек E(-3;1) и K(1;4). Рассчитаем разности координат по оси x и оси y:

Δx(EK) = x(K) - x(E) = 1 - (-3) = 4
Δy(EK) = y(K) - y(E) = 4 - 1 = 3

Таким образом, направляющий вектор прямой ЕК: vec EK = (4, 3).

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов vec EK и vec MK, а также векторов vec KE и vec KP.

- Для произведения vec EK * vec MK рассчитаем скалярное произведение по формуле:

vec EK * vec MK = (EK_x * MK_x) + (EK_y * MK_y)

Заменим значения координат векторов:
vec EK = (4, 3), vec MK = (2, 1).

vec EK * vec MK = (4 * 2) + (3 * 1) = 8 + 3 = 11.

- Для произведения vec KE * vec KP рассчитаем скалярное произведение по формуле:

vec KE * vec KP = (KE_x * KP_x) + (KE_y * KP_y)

Заменим значения координат векторов:
vec KE = (-4, -1), vec KP = (-3, -1).

vec KE * vec KP = (-4 * -3) + (-1 * -1) = 12 + 1 = 13.

Шаг 3: Найдем острый угол между прямыми РЕ и ЕК.

Острый угол между прямыми РЕ и ЕК может быть найден по формуле:

cos θ = (vec RE * vec EK) / (|vec RE| * |vec EK|)

где 'θ' обозначает острый угол.

- Найдем длину векторов |vec RE| и |vec EK|:

|vec RE| = sqrt((Δx(RE))^2 + (Δy(RE))^2) = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2).
|vec EK| = sqrt((Δx(EK))^2 + (Δy(EK))^2) = sqrt(4^2 + 3^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5.

- Подставим значения в формулу:

cos θ = ((vec RE * vec EK) / (|vec RE| * |vec EK|)) = (11 / (sqrt(2) * 5)).

- Найти острый угол θ:

θ = arccos(cos θ) = arccos(11 / (sqrt(2) * 5)).

Ответ можно округлить до нужного количества знаков после запятой.

Вот и все! Мы нашли острый угол между прямыми РЕ и ЕК, а также вычислили значение выражения vec EK * vec MK - vec KE * vec KP.