Составим уравнение касательной y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀) Для этого найдём значение функции в точке х₀ f(1)=(2*1)/(4*1-2)=2/2=1, и значение производной в этой точке f'(x₀)=((2x)/(4x-2))'=((2x)'*(4x-2)-(2x)*(4x-2)')/(4x-2)²=(2*(4x-2)-(2x)*4)/(4x-2)²= =-4/(4x-2)² f'(1)=-4/(4*1-2)²=-4/4=-1 Уравнение касательной будет выглядеть так: y=1+(-1)*(x-1)=1-x+1=2-x Получаем что при х=0 у=2, а при у=0 х=2. Значит треугольник равносторонний с боковыми сторонами равными 2 ед. и прямоугольный, так как ограничен осями координат. По формуле площади прямоугольного треугольника находим площадь: S=(1/2)*2*2=2 ед².
Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1.
Решение: Найдем уравнение касательной к графику функции у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1. Уравнение касательной записывается по формуле
y(x)=y'(x₀)(x-x₀)+y(x₀)
Найдем значение y(x₀)
y(x₀) = х₀/(2х₀ — 1) Так как х₀=1, то y(1) = 1/(2*1 — 1)=1 Найдем производную функции Значение производной функции в точке x₀=1 y'(1)=-1/(2*1-1)²=-1 Запишем уравнение касательной
y =-(x-1)+1=-x+2 Данная прямая имеет две точки пересечения с осями координат При х=0 у=2 и х=2 у=0 (0;2) и (2;0) Найдем площадь треугольника через интеграл так как площадь фигуры ограничена прямой касательной с пределами интегрирования от х₁=0 до х₂=2
Или найти площадь прямоугольного треугольника( так как оси координат имеют угол 90⁰) с катетами равными 2 S=(a*b)/2=2*2/2=2
ответ: S=2
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
![S_{TP}= \int\limits^2_0 {(-x+2)} \, dx=(- \frac{x^2}{2}+2x) \left[\begin{array}{ccc}2\\0\end{array}\right]= - \frac{2^2}{2}+2*2=2](/tpl/images/0775/6294/ffaa8.png)
