Винесіть множник з-під знака кореня:

D ограничена окружностью

c центром в точке M и радиусом  Можно или сначала сделать сдвиг x-1/2=u, y-1/2=v, а потом ввести полярные координаты, или объединить эти две операции в одну. Естественно, модуль якобиана перехода будет равен r, как и в случае обычного перехода к полярной системе. Итак,

если разбить на отдельные интегралы, интегралы от слагаемых с косинусом и синусом обнулятся (как любой уважающий себя интеграл от синуса или косинуса по промежутку длиной в период или несколько периодов) и останется только интеграл

Замечание. Если кто-то не любит комфорт, можете просто перейти к полярным координатам, но тогда угол будет меняться от минус пи/4 до 3 пи/4, а полярный радиус от нуля до косинус фи плюс синус фи.

Возможно, Вы хотели написать @масса сосуда заполненного НАПОЛОВИНУ, равна 5 кг 400 г.
Если это так, то:

5 кг 400 г х 5,4 кг
Пусть х - масса сосуда.
Тогда 8-х - масса воды в полном сосуде.
(8-х)/2 - количество воды в сосуде, заполненном наполовину.
(8-х)/2 + х - масса наполовину заполненного сосуда с водой.

Уравнение:
(8-х)/2 + х = 5,4 | •2
2(8-х)/2 + 2•х = 2•5,4
8 - х + 2х = 10,8
х = 10,8 - 8
х = 2,8 кг - масса сосуда.

ответ: 2,8 кг

ПРОВЕРКА
1) 8 - 2,8 = 5,2 кг - масса воды в полном сосуде.
2) 5,2 : 2 = 2,6 кг - масса воды в сосуде, заполненном наполовину.
3) 2,6 + 2,8 = 5,4 кг = 5 кг 400 г - масса сосуда, наполовину заполненного водой.

Все верно!