Докажите тождество
упр 265 , 266

Для того чтобы доказать тождество в упражнениях 265 и 266, нам понадобится знание основных свойств и операций с тригонометрическими функциями.

Для начала, рассмотрим упражнение 265:

Упражнение 265:
\(\sin(A+B)\cos(A-B) + \cos(A+B)\sin(A-B)\) (1)

Воспользуемся формулами сложения и вычитания для синуса и косинуса:

\(\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\) (2)

\(\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\) (3)

Заметим, что если мы применим формулы (2) и (3) для формулы (1), то мы получим тождество:

\(\sin(A+B)\cos(A-B) + \cos(A+B)\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B)\cos(A)\sin(B) + \cos(A)\cos(B)\sin(A)\sin(B)\)

Теперь мы можем разложить уравнение по сумме двух произведений:

\(\sin(A)\cos(B)\cos(A)\sin(B) + \cos(A)\cos(B)\sin(A)\sin(B) = \sin(A)\cos(A)\cos(B)\sin(B) + \cos(A)\cos(B)\sin(A)\sin(B)\)

Заметим, что мы получили исходное выражение, но с другим порядком членов, но так как сложение и умножение чисел коммутативны, то порядок членов не влияет на результат.

Таким образом, тождество в упражнении 265 доказано.

Аналогичным образом, мы можем решить упражнение 266:

Упражнение 266:
\(\sin(A+B)\sin(A-B) - \cos(A+B)\cos(A-B)\)

Снова воспользуемся формулами сложения и вычитания для синуса и косинуса:

\(\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\)

\(\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\)

Аналогично предыдущему случаю, мы применим формулы (2) и (3) к уравнению (1):

\(\sin(A+B)\sin(A-B) - \cos(A+B)\cos(A-B) =\)

\(\sin(A)\cos(B)\sin(A)\cos(B) - \cos(A)\cos(B)\cos(A)\sin(B) =\)

\(\sin^2(A)\cos^2(B) - \cos(A)\cos(B)\cos(A)\sin(B)\)

Как и в предыдущем случае, мы можем разложить уравнение по сумме двух произведений:

\(\sin^2(A)\cos^2(B) - \cos(A)\cos(B)\cos(A)\sin(B) =\)

\(\sin^2(A)\cos^2(B) - \cos^2(A)\sin^2(B)\)

Применим тригонометрическую формулу \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\):

\(\sin^2(A)\cos^2(B) - \cos^2(A)\sin^2(B) = 1 - \cos^2(A)\sin^2(B)\)

Используем тригонометрическую формулу \(\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)\):

\(1 - \cos^2(A)\sin^2(B) = 1 - \cos^2(A)(1 - \cos^2(B))\)

Раскроем скобки:

\(1 - \cos^2(A)(1 - \cos^2(B)) = 1 - \cos^2(A) + \cos^2(A)\cos^2(B)\)

Заметим, что мы получили исходное выражение, но с другим порядком членов.

Таким образом, тождество в упражнении 266 также доказано.

В результате, мы успешно доказали тождество в упражнениях 265 и 266, используя формулы сложения и вычитания для синуса и косинуса, а также свойство коммутативности сложения и умножения чисел.