1. Скласти рiвняння дотичної площини і нормалi до поверхні у заданій точці:

a) x=x² +2y², M (1;1;x0);

B) x² + y^2-x^2-xу=0. М,(- 1;0;1).

2. Дослідити функції на екстремум:

a) z =x² + xy+y^2 - 2x-3y;
б)z =x³ + y^3 - 9ху

Находим длины сторон треугольника:
Расстояние между точками. d = v ((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²)
         АВ                  ВС         АС            Р                 р=Р/2
12.369317     15.297059     3       30.666375       15.3332
Затем по формуле Герона находим площадь.
        a                      b          c              p                   2p                     S
12.369317   15.297059   3     15.333188    30.66637542        4.5
 cos A = 0.9805807    cos B = -0.970143       cos С = 0.998868138
Аrad = 0.1973956       Brad = 2.896614         Сrad = 0.047583103
Аgr = 11.309932         Bgr = 165.96376         Сgr = 2.726310994.
ответ: площадь равна 4,5 кв.ед.

Здесь суть в том, чтобы рассмотреть функцию arctg(3m^2+12m+11). Областью определения f1(m)=arctg(m) является множество действительных чисел. Областью определения f2(m)=arctg(3m^2+12m+11) тоже является множество действительных чисел. Множество значений f1(m) равно (-π/2;π/2).
Но теперь рассмотрим внимательнее функцию f2(m). Запишем ее от другого аргумента. Это будет уже другая функция g(n)=arctg(n), причем n является функцией от m. n(m)=3m^2+12m+11. Теперь уже на область определения функции g(n) накладываются новые ограничения, поскольку областью определения функции g(n) является область значений функции n(m).
n(m) - парабола с ветвями вверх, ее минимальное значение достигается при m=-12/(2*3)=-2. n(-2)=-1. Сверху ограничений на функцию n(m) нет.
Функции f1(m) и g(n) похожи. Разница лишь в их области определения. Это влечет изменение области значений. Если у f1(m) нижней границей была асимптота -π/2, то у g(n) наименьшим значением является g(-1)=-π/4. Верхняя же граница у обоих функций совпадает. Таким образом, областью значений функции g(n)=arctg(n), где n(m)=3m^2+12m+11, является полуинтервал [-π/4;π/2).
Вернемся к исходному неравенству.
1) Если x=0, то левая часть неравенства обращается в 0, и неравенство не справедливо ни при каких m.
2) x∈[-3;0)
Можно разделить обе части на 4x, при этом сменив знак неравенства.
π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)<0
arctg(3m^2+12m+11)>π/4*(x+1)
Слева находится функция арктангенса, ограниченная областью значений [-π/4;π/2). Справа находится горизонтальная прямая. Требуется, чтобы функция арктангенса была полностью выше этой прямой. Очевидно, что π/4*(x+1) должно быть строго меньше наименьшего значения функции арктангенса.
π/4*(x+1)<-π/4
x+1<-1
x<-2
Ввиду ограничений для этого пункта, x∈[-3;-2)
3) x∈(0;1]
Здесь разделим исходное неравенство на 4x уже без смены знака.
π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)>0
arctg(3m^2+12m+11)<π/4*(x+1)
Так как π/2 является верхней границей арктангенса, которая никогда не достигается, то справедливо неравенство:
arctg(3m^2+12m+11)<π/2≤π/4*(x+1)
Отсюда π/2≤π/4*(x+1),
2≤x+1
x≥1
С учетом ограничений для этого пункта, x=1.
Таким образом, x∈[-3;2)∪{1}