а)
2x +3 y = 10
-2x + 5y = 6
2x+3y = 10
-2x = 6 - 5y
2x+3y = 10
2x = -6 + 5y
Подставляем -6 + 5у вместо 2х в первое уравнение
-6 + 5y + 3y = 10
8y = 10 + 6
8y = 16
y = 16/8
y = 2
Теперь y = 2 подставим в уравнение 2x = -6 + 5y
2x = -6 + 5*2
2x = -6 + 10
2x = 10 - 6
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Проверяем (Подставляем x и y в исходные уравнения)
2*2 +3*2 = 10
4 + 6 = 10
Верно
-2*2 + 5*2 = 6
-4 + 10 = 6
10 - 4 = 6
Верно.
б)
3x - y =2
x + 2y = 10
3x - y =2
x = 10 - 2y
Подставялем в первое уравнение 10 - 2y вместо x
3*(10-2y) - y = 2
30 - 6y - y = 2
-7y = -28
7y = 28
y = 28/7
y = 4
Подставляем y = 4 в уравнение x = 10 - 2y
x = 10 - 2*4
x = 10 - 8
x = 2
Проверяем, подставив y = 4 и x = 2 в исходные уравнения
3*2 - 4 = 2
6 - 4 = 2
Верно
2 + 2*4 = 10
2 + 8 = 10
Верно.
Дано уравнение эллипса 5x² + 9y² – 30x + 18y + 9 = 0.
Выделим полные квадраты.
(5x² – 5*6x + 5*9) - 5*9 + (9y² + 9*2y + 9) = 0,
5(x - 3)² + 9(y + 1)² = 45. Разделим обе части на 45.
(x - 3)²/9 + (y + 1)^2/5 = 1 или
(x - 3)²/3² + (y + 1)^2/(√5)² = 1.
Получили каноническое уравнение заданного эллипса.
Отсюда видны полуоси: a = 3, b = √5 и центр эллипса хо = 3, уо = -1.
Находим расстояние от центра до фокусов.
с = √(a² - b²) = √(9 - 5) = 2.
Координаты правого фокуса F2 = (3 + 2; -1) = (5; -1).
Дана прямая 4х + 2у – 1 = 0.
Для перпендикулярной прямой к прямой в виде Ах + Ву + С = 0 коэффициенты А и В меняются на -В и А.
Уравнение имеет вид -2х + 4у + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты фокуса F2.
-2*5 + 4*(-1) + C = 0. Отсюда С = 4 + 10 = 14.
ответ: прямая -2х + 4у + 14 = 0 или разделив на (-2):
x - 2y - 7 = 0.
