Y = 2x² +1, y=0, x=-1, x = 1; найти площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми.

Для решения данной задачи необходимо найти точки пересечения заданной параболы и оси x, то есть значения x, при которых y=0. Затем построим график заданной параболы.

Для начала решим уравнение:

2x² + 1 = 0

Вычитаем 1 из обеих частей:

2x² = -1

Делим обе части на 2:

x² = -1/2

Так как уравнение имеет отрицательное значение в правой части, то у него нет действительных корней. То есть парабола не пересекает ось x и, следовательно, не ограничивает фигуру.

Теперь построим график параболы.

Для этого составим таблицу значений, взяв несколько значений x:

x | y = 2x² + 1
--------------
-2 | 9
-1 | 3
0 | 1
1 | 3
2 | 9

Построим график, отметив на координатной плоскости точки с соответствующими значениями x и y:

|
10 + *
| *
9 + *
| *
8 + *
| *
7 + *
| *
6 + *
|
5 +
|
4 +
|
3 + * *
| * *
2 + *
| *
1 + *
| *
0 +------------> x
-2 -1 1 2

Теперь нужно найти точки пересечения графика с осью x. Заметим, что при x = -1 и x = 1 значение y будет равно 0.

Таким образом, фигура, ограниченная заданными кривыми, представляет собой участок графика параболы, расположенный между x = -1 и x = 1.

Теперь найдем площадь этой фигуры с помощью определенного интеграла.

Площадь фигуры можно найти по формуле:

S = ∫[a,b] y dx,

где a и b - это значения x, при которых представлен участок графика. В данном случае, a = -1, b = 1.

Подставим значение функции y = 2x² + 1 в формулу:

S = ∫[-1,1] (2x² + 1) dx.

Выполним интегрирование:

S = [2/3 * x³ + x]∣[-1,1],

S = (2/3 * 1³ + 1) - (2/3 * (-1)³ + (-1)),

S = (2/3 + 1) - (2/3 - 1),

S = 2/3 + 3/3 - 2/3 + 3/3,

S = 6/3,

S = 2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна 2 квадратным единицам.