решить. Решите задачи:
а) Необходимо выбрать в подарок четыре книги из десяти. Сколькими
это можно сделать?
б) Сколько различных вариантов четных четырехзначных чисел, в
записи которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2,
3, 4?
в) Сколькими можно выбрать старосту и профорга в группе
студентов из 24 человек?
г) Сколькими из группы в 24 человека можно выбрать трёх
делегатов на конференцию?
д) Сколькими можно выбрать 1 красную гвоздику и 2
розовых из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?
е) Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 4,
5 и 7? Сколько среди них четных чисел?

а) Чтобы выбрать 4 книги из 10, мы можем использовать комбинации. Количество способов выбрать 4 книги из 10 можно вычислить по формуле сочетаний: C(10, 4) = 10! / (4! * (10 - 4)!), где ! обозначает факториал (произведение натуральных чисел от 1 до данного числа).

Вычислим:

C(10, 4) = 10! / (4! * 6!) = (10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1) = 210

Таким образом, можно выбрать 4 книги из 10 штук 210 различными способами.

б) Чтобы составить четырехзначное число без повторяющихся цифр, мы можем использовать перестановки. Количество различных вариантов четных четырехзначных чисел без повторяющихся цифр можно вычислить по формуле P(4, 4) * P(3, 1), где P(n, k) - количество перестановок из n элементов по k элементов.

Вычислим:

P(4, 4) * P(3, 1) = 4! * 3! = (4 * 3 * 2 * 1) * (3 * 2 * 1) = 24 * 6 = 144

Таким образом, можно составить 144 различных варианта четных четырехзначных чисел без повторяющихся цифр из цифр 1, 2, 3 и 4.

в) Чтобы выбрать старосту и профорга в группе из 24 человек, мы можем использовать сочетания. Количество способов выбрать старосту и профорга из 24 человек можно вычислить по формуле C(24, 2).

Вычислим:

C(24, 2) = 24! / (2! * (24 - 2)!) = (24 * 23) / (2 * 1) = 276

Таким образом, можно выбрать старосту и профорга в группе из 24 человек 276 различными способами.

г) Чтобы выбрать трех делегатов на конференцию из группы из 24 человек, мы также можем использовать сочетания. Количество способов выбрать трех делегатов из 24 человек можно вычислить по формуле C(24, 3).

Вычислим:

C(24, 3) = 24! / (3! * (24 - 3)!) = (24 * 23 * 22) / (3 * 2 * 1) = 2024

Таким образом, можно выбрать трех делегатов из группы из 24 человек 2024 различными способами.

д) Чтобы выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых из вазы, где находятся 10 красных и 4 розовых гвоздики, мы также можем использовать сочетания. Количество способов выбрать 1 красную гвоздику из 10 и 2 розовых из 4 можно вычислить по формуле C(10, 1) * C(4, 2).

Вычислим:

C(10, 1) * C(4, 2) = (10! / (1! * (10 - 1)!)) * (4! / (2! * (4 - 2)!)) = (10 * 4 * 3) / (1 * 2) = 60

Таким образом, можно выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, 60 различными способами.

е) Чтобы составить четырехзначное число из цифр 1, 4, 5 и 7, мы также можем использовать перестановки. Общее количество четырехзначных чисел можно вычислить по формуле P(4, 4), а количество четных чисел можно вычислить по формуле P(3, 3), так как на последней позиции должна быть четная цифра (2 или 4).

Вычислим:

P(4, 4) = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

P(3, 3) = 3! = 3 * 2 * 1 = 6

Таким образом, можно составить 24 различных четырехзначных числа из цифр 1, 4, 5 и 7, а среди них 6 четных чисел.