Будем пользоваться непрерывностью косинуса, тем самым обосновывая справедливость внесения знака предела под аргумент.
![n^{5/6}\pi\dfrac{\sqrt[3]{n^2-1}-\sqrt[3]{n^2} }{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = n^{5/6}\pi\dfrac{\left((n-1)^{1/3}(n+1)^{1/3}-n^{2/3}\right)\left((n+1)^{1/2}+n^{1/2}\right)}{1}](/tpl/images/2102/0288/09f8f.png)
, это получилось умножением числителя и знаменателя на сопряженное. Раскрываем скобки: 
. Вынесем 
: 
. Разложим каждую скобку по формуле Тейлора в окрестности 
с точностью до квадратичных членов: 
После раскрытия скобок получим ![-n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1) \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\left [-n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1)\right] = -\dfrac{2\pi}{3}](/tpl/images/2102/0288/f92c6.png)
. Значит, 
.
