Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 
.
![(a,b,c) = (a,[b,c]) = \left(\begin{array}{c}1\\-4\\0\end{array}\right)\cdot \left(\left(\begin{array}{c}-1\\0\\-1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\z\\0\end{array}\right)\right) = \left(\begin{array}{c}1\\-4\\0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}z\\-3\\-z\end{array}\right) = z+12 = 0 \Leftrightarrow z=-12](/tpl/images/4742/2370/503cd.png)
Есть и другой . Как видно, векторы 
и 
неколлинеарны, а потому вектор 
можно представить в виде линейной комбинации этих векторов тогда и только тогда, когда лежит в одной плоскости с данными векторами. Иными словами: 
