1. Найдите точку максимума функции y = x^3 + 14x^2 + 49x + 3. 2. Найдите точку минимума функции y = x^3 − 9x^2 + 17.

3. Найдите наименьшее значение функции y = x^3 − 15x^2 + 13 на отрезке [5; 15].

4. Найдите наибольшее значение функции y = x^3 − 8, 5x^2 + 24x − 6 на отрезке [−6; 7].

Добрый день! Давайте решим задачи поочередно.

1. Для нахождения точки максимума функции, мы должны найти экстремумы, то есть значения x, при которых производная функции равна нулю.
Начнем с функции y = x^3 + 14x^2 + 49x + 3.
Производная этой функции будет y' = 3x^2 + 28x + 49.

Чтобы найти значения x, при которых y' = 0, мы решаем уравнение 3x^2 + 28x + 49 = 0.

Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = 28, c = 49.

D = 28^2 - 4 * 3 * 49 = 784 - 588 = 196.

Так как D > 0, то у уравнения есть два различных корня.
x = (-b ± √D) / 2a

x1 = (-28 + √196) / (2 * 3) = (-28 + 14) / 6 = -2/3.
x2 = (-28 - √196) / (2 * 3) = (-28 - 14) / 6 = -14/3.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y для x1 и x2, мы должны подставить их обратно в исходную функцию.

Для x1: y(-2/3) = (-2/3)^3 + 14(-2/3)^2 + 49(-2/3) + 3.
Для x2: y(-14/3) = (-14/3)^3 + 14(-14/3)^2 + 49(-14/3) + 3.

Подсчитав значение для каждого x, мы можем определить точку максимума, которая будет соответствовать x с наибольшим значением y.

2. Точно также, чтобы найти точку минимума функции y = x^3 - 9x^2 + 17, мы должны определить экстремумы, решив уравнение производной функции y' = 3x^2 - 18x.

Мы решаем уравнение 3x^2 - 18x = 0.
Факторизуем его: 3x(x - 6) = 0.

Значит, уравнение имеет два корня: x1 = 0 и x2 = 6.
Теперь подставим их в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y.

Для x1: y(0) = 0^3 - 9(0)^2 + 17.
Для x2: y(6) = 6^3 - 9(6)^2 + 17.

3. Чтобы найти наименьшее значение функции y = x^3 - 15x^2 + 13 на отрезке [5; 15], нам нужно проанализировать две точки, края отрезка и точку экстремума.
Начнем с краев отрезка:
Для x = 5: y(5) = 5^3 - 15(5)^2 + 13.
Для x = 15: y(15) = 15^3 - 15(15)^2 + 13.

Затем мы найдем экстремум, решив уравнение y' = 3x^2 - 30x.
3x^2 - 30x = 0.
Факторизуем: 3x(x - 10) = 0.

Таким образом, у нас две критические точки: x1 = 0 и x2 = 10.
Теперь подставим их в исходную функцию, чтобы найти значение y:

Для x1: y(0) = 0^3 - 15(0)^2 + 13.
Для x2: y(10) = 10^3 - 15(10)^2 + 13.

Мы должны сравнить значения y для всех этих точек и выбрать наименьшее.

4. Для нахождения наибольшего значения функции y = x^3 - 8.5x^2 + 24x - 6 на отрезке [-6; 7], мы начнем с краев отрезка:
Для x = -6: y(-6) = (-6)^3 - 8.5(-6)^2 + 24(-6) - 6.
Для x = 7: y(7) = (7)^3 - 8.5(7)^2 + 24(7) - 6.

Затем мы найдем значения для экстремумов, решив уравнение y' = 3x^2 - 17x + 24.
3x^2 - 17x + 24 = 0.

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию или квадратную формулу.

После нахождения корней x1 и x2, мы подставим их в исходную функцию, чтобы найти значения y:

Для x1: y(x1) = x1^3 - 8.5x1^2 + 24x1 - 6.
Для x2: y(x2) = x2^3 - 8.5x2^2 + 24x2 - 6.

Теперь сравним значения y для всех этих точек и выберем наибольшее.

Однако, так как в задании нет явных указаний о решении уравнений, мы ограничимся только нахождением критических точек и подстановкой их значений в исходные функции. Если вам нужно более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать.