Вычислить определители методом рекуррентных соотношений

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

валерія346

18.08.2020 16:50

Первое слагаемое равно 7820,второе больше первого на 329 десятков,третье на 74 сотни больше второго,четвёртое равно трём слагаемым,взятых вместе.вычислите сумму четырёр слагаемых....

pandamashenka

05.11.2021 11:54

Реши уравнения: x + 457 = 839 a · 30 = 150 x - 624 = 281 a : 20 = 9...

Malika274

05.11.2021 11:54

Сократите дробь : а) 4(а-b)/5(a-b)²...

Anastasia6226

05.11.2021 11:54

Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два поезда.один шел со скоростью 52км/ч ,скорсть другого была 67км/ч.через 6 часов поезда встретились .какой путь...

helenodecca

05.11.2021 11:54

На столе 3 вазы с гвоздиками.в первой вазе х гвоздик, во второй в 2 раза больше, в третьей-в три раза больше чем в первой.сколько всего цветов. составить модель ....

жека12рус

05.11.2021 11:54

Вторговом центре за день продали 26 ноутбуков и 5 игровых приставок по одинаковой цене.за ноутбуки получено на 33600 р. больше ,чем за игровые приставки .сколько денег получили...

Котя534

05.11.2021 11:54

Выражения: 1)12у+у+52+8у+3; 204b+30b+6b+56....

7777kiti

05.11.2021 11:54

Запишите цифрами числа . 86 тыс ,11 млн ,367 млдрд...

PolinaCat29

05.11.2021 11:54

Запиши все двухзначные числа кратких числу 23...

влалллла

05.11.2021 11:54

Три строителя планиировли построить дом за 40 дней,к ним на пришли другие строители и дом был построен за 24дня .сколько строителей пришло на :...

Ответ:

savannah1

13.02.2022 13:16

Разложим определитель по последней строке:

$D_n=(-1)^{n+2}\cdot\begin{vmatrix}1&1&1&\ldots&1&1\\a_1&0&0&\ldots&0&0\\0&a_2&0&\ldots&0&0\\\hdotsfor{6}\\0&0&0&\ldots&0&0\\0&0&0&\ldots&a_{n-1}&0\end{vmatrix}+a_nD_{n-1},$

а получившийся определитель - по последнему столбцу:

$D_n=(-1)^{n+2}\cdot(-1)^{n+1}\cdot\begin{vmatrix}a_1&0&0&\ldots&0\\0&a_2&0&\ldots&0\\ \hdotsfor{5}\\0&0&0&\ldots&0\\0&0&0&\ldots&a_{n-1}\end{vmatrix}+a_nD_{n-1}=$

$= -a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{n-1}+a_nD_{n-1}.$

Поскольку $D_1=-1;\ D_2=-a_1-a_2,$ а по рекуррентному соотношению

$D_3=-a_1\cdot a_2+a_3D_2=-a_2\cdot a_3-a_1\cdot a_3-a_1\cdot a_2,$ естественно выдвинуть гипотезу, что $D_n= -a_2\cdot a_3\cdot\ldots\cdot a_n-\sum\limits_{i=2}^{n-1}a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot \ldots \cdot a_n-a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_{n-1}.$

Докажем ее. Для n=2 и n=3 гипотеза верна. Пусть она верна при некотором n=k>1, тогда

$D_{k+1}=-a_1\cdot a_2 \cdot \ldots\cdot a_{k}+a_{k+1}(-a_2\cdot a_3\cdot \ldots a_k-\sum\limits_{i=2}^{k-1}a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot\ldots\cdot a_k - a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{k-1})=$

$=-a_2\cdot a_3\cdot \ldots \cdot a_{k+1}-\sum\limits_{i=2}^{k}a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot \ldots\cdot a_{k+1}-a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_k.$

Гипотеза доказана.

Кстати, если все числа $a_i,\ i=1;\ 2,\ \ldots, n$ не равны нулю, ответ можно записать в виде

$D_n=-\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_1\cdot a_2\cdot\ldots \cdot a_n}{a_i}.$

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку