8. Într-o încăpere în formă de dreptunghi cu lungimea de 40 dm şi lățimea 180 cm se pune gresie de formă pătrată cu latura egală cu 30 cm. 10p a) Cîte bucăți de gresie sînt necesare? b) Dacă prețul gresiei este de 25,5 lei/m”, iar restul materialelor folosite costă cît jumătate din prețul gresiei aflați costul total . c) Dacă s-ar pune şi faianță la înălțimea de 1,5 m cu preţul de 23 lei/m² cît ar fi prețul ei? >

5% годовых

Пусть банк начислял p% годовых.

Тогда клиент А за два года получил 40 000(1 + 0,01p)² руб., а клиент Б за один год получил 40 000(1 + 0,01p) руб.

Обозначим x = 1 + 0,01p, тогда поскольку А. получил на 2100 руб. больше, имеем:

40000x² - 40 000x = 2100

Что равносильно:

400x² - 400x - 21 = 0

Решаем квадратное уравнение(разбор делать не буду, уж сам/а, но если надо, то напиши):

x1 = -0,05

x2 = 1,05

Поскольку x>0 получаем: x = 1,05, откуда p=5.

Тем самым, банк начислял вкладчикам по 5% годовых.

Рассмотрим вопрос о распределении в классах по модулю  последовательности

(1)

где  - некоторое число, взаимно простое с модулем. По теореме Эйлера имеем , и поэтому , при любом целом положительном . Следовательно, среди степеней (1) числа  найдется бесконечное количество чисел, сравнимых с 1 по модулю .

Определение 1. Наименьшее натуральное число , для которого справедливо сравнение

(2)

называется показателем числа  по модулю или показателем, которому принадлежит число  по модулю  и обозначается символом .

Очевидно, что. Требование  является существенным.

Определение 2. Если , то  называют первообразным корнем (примитивным) по модулю .

1°. Если , то числа  и  принадлежат по этому модулю одному и тому же показателю, то есть .

Доказательство. Пусть , . Так как , то

.

Следствие 1. Все числа одного и того же класса имеют один и тот же показатель.

2°. Если , то .

Доказательство. Необходимость. Пусть . По теореме о делении с остатком имеем , причем . Поскольку , то . Следовательно, . А это означает, что .

Достаточность. Пусть . Тогда . Поскольку , то , то есть .

Следствие 2. Если  и , то .

Следствие 3. Показатель , которому принадлежит число  по модулю , является делителем числа , то есть .

3°. Если , то .

Следствие 4. Показатель, которому принадлежит по модулю  произведение чисел , равен произведению показателей, которым принадлежат по модулю числа , если показатели попарно взаимно простые.

4°. Если , то .

2. Первообразные корни.

Теорема 1. Если  - первообразный корень, то система  - ПрСВ.

Действительно, в данной системе имеется - вычетов, они не сравнимы и взаимно просты с модулем .

Теорема 2. По любому простому модулю  существует хотя бы один первообразный корень.

Доказательство. Действительно, пусть

(3)

- все различные показатели, которым по модулю  принадлежат числа

. (4)

Пусть  - наименьшее общее кратное этих показателей и  - его каноническое разложение. Каждый множитель  этого разложения делит по меньшей мере одно число  ряда (3), которое, следовательно, может быть представлено в виде: . Пусть  - одно из чисел ряда (4), принадлежащих показателю . Согласно свойству 4° число  принадлежит показателю , согласно свойству 3° произведение  принадлежит показателю . Поэтому, согласно следствия 2 свойства 2° показателей,  - делитель . Но поскольку числа (3) делят , все числа (4) являются решениями сравнения ; поэтому будем иметь . Следовательно,  и  - первообразный корень.

Теорема 3. Если существует хотя бы одно число, принадлежащее по модулю  показателю , то всего классов таких чисел будет .

Следствие 5. Первообразных корней по простому модулю существует .