Найти площадь сегмента, если радиус окружности равен 4, а угол между радиусами 135°

1) В сутках 24*60 = 1440 мин.
При спешке на 6 мин в сутки через 1440/6 = 240 суток часы будут спешить ровно на сутки.
При отставании на 3 мин в сутки через 1440/3 = 480 суток часы будут отставать ровно на сутки. А через 240 суток они будут отставать на 12 часов и все равно покажут 12:00
ответ: 240 суток.

2) Дома на одной стороне или все нечетные, и самих домов 
нечетное количество, иначе их сумма была бы четной.
Пусть первый дом имеет номер m, и всего домов n.
Это арифметическая прогрессия, a1 = m, d = 2, домов n.
S = (2a1 + d(n-1))*n/2 = (2m + 2(n-1))*n/2 = 161
(m + n - 1)*n = 161 = 7*23
Очевидно, 
{ n = 7
{ m + n - 1 = 23
отсюда m = 23 + 1 - 7 = 17
ответ: 7 домов, номера от 17 до 29

3) На каждом шаге 1 ученик отставал от 2 на 9 см.
Когда их шаги совпали через 17 с, 1 сделал х шагов, 2 - у шагов.
60x = 69y
20x = 23y
x = 23 шага сделал 1 ученик, y = 20 шагов сделал 2 ученик.
Не очень понятно - шаги второй раз воспали через 5 мин после начала движения из А, или через 5 мин после первого совпадения (то есть через 5 мин 17 сек после начала движения)?
Когда их шаги совпали через 5 мин = 300 сек
20x = 23y
x = 23*[300/17] = 23*17 = 391
y = 20*[300/17] = 20*17 = 340
Теперь расстояние. За первые 17 сек они
60*23 = 69*20 = 1380 см.
За 5 мин = 300 сек они
391*60 = 340*69 = 23460 см.
Если это 1 вариант (5 мин после начала), то ответ: 23460.
А если 2 вариант (5 мин после 1 совп.), то 23460+1380=24840.

Первый путь решения:

это уравнение в полных дифференциалах.

Потому что

dP/dy=dQ/dx.

где

Р=(2x-y+1)

Q=(2y-x-1)

Надо найти такую функцию U(x;y), что

dU/dx=P

dU/dy=Q.

Тогда решение будет U=C.

С одной стороны

dU/dx=2x-y+1

U= x^2-xy+x +C1(y)

С другой стороны

dU/dy=2y-x-1

U=y^2-xy-y+C2(x)

x^2-xy+x +C1(y)=y^2-xy-y+C2(x)

x^2+x +C1(y)=y^2-y+C2(x)

C1(y)=y^2-y

U= x^2-xy+x +C1(y)= x^2-xy+x +y^2-y=C

Второй путь решения.

Это уравнение, сводящееся к однородному.

(2x-y+1)dx+(2y-x-1)dy=0

сгруппируем так:

(2(x+1/3) - (y-1/3))dx+(2(y-1/3)- (x+1/3))dy=0

замена

a=x+1/3; da=dx

b=y-1/3; db=dy

(2a-b)da+ (2b-a)db=0- однородное

вводим новую функцию

b/a=u

b=ua

db=uda+adu

(2a- ua)da+ (2ua-a)(uda+adu)=0

(2- u)da+ (2u- 1)(uda+adu)=0

(2+ 2u^2- 2u)da+ (2u-1)adu=0

разделяем переменные

∫da/a= 1/2*∫(1-2u)du/( u^2- u+1)

заметим, что (1-2u)du= -d(u^2- u+1)

ln(C*|a|)=-1/2 *ln(C|(u^2- u+1|)

откуда

a=C/√(u^2- u+1)

a*√((b/a)^2- b/a+1)=C

√((b^2- b*a+a^2)=C

(y-1/3)^2- (y-1/3)(x+1/3)+(x+1/3)^2=C^2

Пошаговое объяснение: