Найти последнюю цифру 1²+2²+3²+…+2020²+2021²

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о некоторых свойствах чисел и алгебры.

Сперва, мы можем заметить, что нам нужно найти последнюю цифру суммы квадратов чисел от 1 до 2021. Чтобы это сделать, мы можем разложить каждое число на сумму его цифр, возведенных в квадрат, и после этого сложить все эти числа.

Например, для числа 245, разложим его следующим образом:

245 = 2² + 4² + 5²

Теперь применим этот подход ко всем числам от 1 до 2021.
Начнем с числа 1:

1 = 1²

Далее число 2:

2 = 2²

Последовательно продолжим для чисел 3, 4, 5 и так далее, пока не достигнем числа 2021.

Следующим шагом, мы будем записывать разложение каждого числа в виде суммы квадратов его цифр:

1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 4

5 = 5

6 = 6

7 = 7

8 = 8

9 = 9

10 = 1² + 0² = 1

11 = 1² + 1² = 2

...

2020 = 2² + 0² + 2² + 0² = 8

2021 = 2² + 0² + 2² + 1² = 9

Теперь мы можем сложить все получившиеся числа от 1 до 2021:

1 + 2 + 3 + ... + 2020 + 2021 = 1 + 2 + 3 + ... + 2019 + 2020 + 2021

Здесь важно отметить, что мы можем просуммировать эти числа в любом порядке и результат будет один и тот же.

Давайте разобъем эту сумму на группы, где каждая группа будет состоять из 10 чисел (1-9, 10-19, ... 2011-2020, 2021):

(1 + 2 + 3 + ... + 9) + (10 + 11 + 12 + ... + 19) + ... + (2011 + 2012 + 2013 + ... + 2019) + 2020 + 2021

Мы знаем, что сумма первых девяти чисел равна:

1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9 = 45

Теперь суммируем следующую группу чисел:

10 + 11 + 12 + ... + 18 + 19 = 10 + (1 + 1) + (1 + 2) + ... + (1 + 8) + 9 = 10 + 9(1 + 2 + ... + 8 + 9) = 10 + 9 * 45

Мы можем видеть паттерн здесь. Каждая группа суммируется с добавлением 10 и умножается на 9, так как в каждой группе 10 чисел и сумма первых девяти чисел равна 45.

Применяем этот же паттерн и к остальным группам чисел:

(1 + 2 + 3 + ... + 9) + (10 + 11 + 12 + ... + 19) + ... + (2011 + 2012 + 2013 + ... + 2019) + 2020 + 2021 = 45 + (10 + 9 * 45) + (20 + 9 * 45) + ... + (2010 + 9 * 45) + 2020 + 2021

Таким образом, мы можем записать нашу сумму следующим образом:

S = 45 + (10 + 9 * 45) + (20 + 9 * 45) + ... + (2010 + 9 * 45) + 2020 + 2021

Чтобы увидеть общий паттерн, вынесем общий множитель 9 за скобки:

S = (45 + 10 + 20 + ... + 2010) + 9 * (1 + 2 + 3 + ... + 45) + 2020 + 2021

Сумма арифметической прогрессии от 10 до 2010 с шагом 10 равна:

(10 + 2010) / 2 * (2010 - 10) / 10 = 1010 * 200 = 202000

Сумма чисел от 1 до 45:

(1 + 45) / 2 * 45 = 23 * 45 = 1035

Теперь мы можем заменить эти значения в нашем уравнении:

S = 202000 + 9 * 1035 + 2020 + 2021

Сначала найдем последнюю цифру 9 * 1035.
Мы можем воспользоваться свойством, что последние цифры произведения чисел равны последним цифрам их самих:

последняя цифра 9 * 5 = 5
последняя цифра 9 * 3 * 10 = 0

Таким образом, последняя цифра 9 * 1035 равна 5 * 0 = 0.

Заменяем это значение в уравнении:

S = 202000 + 0 + 2020 + 2021 = 206041

Теперь нам нужно найти последнюю цифру числа 206041.
Воспользуемся свойством, что последняя цифра суммы чисел равна последней цифре их самих:

последняя цифра 200000 + 60000 + 4000 + 40 + 1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1

Таким образом, последняя цифра числа 206041 равна 1.

Ответ: последняя цифра для суммы 1²+2²+3²+…+2020²+2021² равна 1.