В классе 6 мальчиков и 24 девочки, у всех разные даты рождения. Каждый день всех участников рассаживают по 6 человек за 5 столов, и за каждым столом самого старшего назначают дежурным. Могло ли через 31 день оказаться, что все девочки отдежурили поровну раз? Задача с олимпиады для 5 класса! Обосновать ответ решением основываясь на программу 5 класса!

1/12 оборотов/час - скорость часовой стрелки
1 об/ч - скорость минутной стрелки.
Если t - время (в часах) между двумя соседними пересадками пчел (оно же - время между двумя ближайшими соединениями стрелок), то за это время минутная стрелка пройдет t оборотов, а часовая t/12 оборотов (скорость умноженная на время).
Т.к. от встречи до встречи расстояние между стрелками отличается ровно на 1 оборот, то t-t/12=1, откуда t=12/11 часа. Итак, между каждыми пересадками пчел проходит интервал в 12/11 часа. За 12 часов с полудня до полуночи пройдет 12/(12/11)=11 таких интервалов.

Пчела, которая начинала на минутной стрелке, будет ехать со скоростью минутной стрелки (т.е. 1 оборот/час) в течение 1-го, 3-го, 5-го, 7-го, 9-го и 11-го интервала, т.е. всего 6 интервалов. Остальные 5 интервалов по 12/11 часа она будет ехать на часовой стрелке со скоростью 1/12 об/ч. Итак, общее количество оборотов, которая она проедет за 12 часов будет равно (6*1+5*1/12)*(12/11)=7.

Та пчела, которая начинала на часовой стрелке, будет ехать 6 интервалов со скоростью 1/12 об/ч на часовой стрелке и 5 интервалов на минутной стрелке со скоростью 1 об/ч. Значит общее количество ее оборотов равно (6*1/12+5*1)*(12/11)=6.

Пусть х р. -заплатил I, у р. - х р. -заплатил II, z р. -заплатил III. Тогда при условии, что первый заплатил половину того что заплатили другие, получим сумму первого x=1/2(y+z+130). При условии, что  второй заплатил третью часть того, что заплатили другие, получим сумму y=1/3(x+z+130). При условии, что  третий заплатил четвертую часть того, что заплатили другие, получим сумму z=1/4(x+y+130). 

таким образом, получена система уравнений:

{ x=1/2(y+z+130)                   {2x=y+z+130                  {2x-y-z=130               {3x-5z=0

{ y=1/3(x+z+130)        <=>    {3yx+z+130           <=>   {x-3y+z=-130    <=>  {4y5z=0           <=>

{ z=z=1/4(x+y+130)               {4z=x+y+130                  {x+y-4z=-130             {x+y-4z=-130

 

{x=5/3z                                   {48z-20z-150z=1560              {z=120

{y=5/4z                        <=>    {x=5/3z                         <=>    {x=200

{5/3z+5/4z-4z=-130               {y=5/4z                                    {y=150

 

Значит, 200 р. -заплатил I,

150 р. - х р. -заплатил II,

120 р. -заплатил III.

Велосипед стоит 200+150+120+130=600 (р.)