Найти y' если функция задана неявной
y^2 - X^2 = arcctg y

Производные сложной функции:1) y= x^3+5tg2x  
 y⁽¹⁾= 3x^2+12(1/cos²2x)·2=3x^2+24(1/cos²2x)

2) y= ln(1- cos^2 3x)
y⁽¹⁾=[1/(1- cos² 3x)]·(-2 cos 3x)(-sin 3x)(3)=(6 cos 3x)(sin 3x)/(1- cos² 3x)

3) y=√^3 (4x-1)/(4x+1)
со степенью не совсем понятно ...какая...

y=[∛ (4x-1)]/(4x+1) или y=∛ [(4x-1)/(4x+1)]  или еще как...

y=[∛ (4x-1)]/(4x+1)=(4x-1)^(1/3)/(4x+1)

y⁽¹⁾=[(1/3)(4x-1)^(-2/3) ·(4x+1)·4-4(4x-1)^(1/3)]/(4x+1)²=
=[4(4x+1)-12(4x-1)]/[(4x-1)^(2/3)(4x+1)²]=[-32x+16]/[(4x-1)^(2/3)(4x+1)²]

y=∛ [(4x-1)/(4x+1)]=[(4x-1)/(4x+1)]^(1/3)
y⁽¹⁾=(1/3)[(4x-1)/(4x+1)]^(-2/3) ·[4(4x+1)-4(4x+1)]/(4x+1)²=
=(8/3)/[(4x-1)^(2/3) (4x+1)^(4/3)]

Если вертикальный угол обозначим за х, смежный с ним будет равен 180 - х по определению смежных углов.

Сумма вертикальных углов х + х = 2х, так как вертикальные углы равны.

Эта сумма в 2 раза меньше смежного угла, значит имеет 2 * 2х = 180 - х.

Решаем уравнение, находим х

4х = 180 - х. При переносе слагаемых в другую часть уравнения меняем знак с минуса на плюс и наоборот, значит

4х + х = 180

5х = 180

х = 180 : 5

х = 36.

Проверка 36 + 36 = 72 - сумма вертикальных углов, смежный угол 180 - 36 = 144. Верно.