Нам дано уравнение 6 x + 10 y + 15 z = 23 6 x + 10 y + 15 z = 23 6x + 10y + 15z = 23 и мы хотим найти все целочисленные решения x, y, zx, y, zx, y , z. Уравнение называется линейным, поскольку все неизвестные x, y, z x, y, z x, y, z появляются с показателями, равными 1 1 1. Кроме того, оно называется диофантовым уравнением, потому что мы ищем целочисленные решения.
Уравнение выглядит знакомым? Вы можете распознать его как уравнение плоскости в 3 3 3 -пространстве R 3 R 3 \ R ^ 3. Если наше диофантово уравнение имеет целочисленные решения x, y, zx, y, zx, y, z, они будут жить (найдены) на этой плоскости и обозначаться через 3 3 3 -кортеж (x, y, z) (x, y z) (x, y, z).
Теперь мы рассмотрим возможные решения. Чтобы это решение было понятным как можно большему количеству людей, некоторые тайные концепции и операции модульной арифметики не должны использоваться явно, поэтому , имейте в виду.
6 x + 10 y + 15 z = 23 (1) (1) 6 x + 10 y + 15 z = 23 6 x + 10y + 15z = 23 \ tag {1}
1 x + 5 x + 5 (2 года + 3 z) = 5 (4) + 3 1 x + 5 x + 5 (2 года + 3 z) = 5 (4) + 3 1x + 5x + 5 (2 года +) 3z) = 5 (4) + 3 после перегруппировки, кратной 5 5 5,
x = 5 (4 - x - 2 y - 3 z) + 3 = 5 k + 3 x = 5 (4 - x - 2 y - 3 z) + 3 = 5 k + 3 x = 5 (4 -x - 2y - 3z) + 3 = 5k + 3 с k ∈ Z k ∈ Z k \ in \ Z
Делая то же самое, чтобы получить y y y,
6 х + 10 лет + 15 z = 23 6 х + 10 лет + 15 z = 23 6x + 10 лет + 15z = 23
3 (2 x + 5 z) + 3 (3 года) + 1 y = 3 (7) + 2 3 (2 x + 5 z) + 3 (3 года) + 1 y = 3 (7) + 2 3 ( 2x + 5z) + 3 (3y) + 1y = 3 (7) + 2 после перегруппировки, кратной 3 3 3,
y = 3 (7 - 2 x - 3 y - 5 z) + 2 = 3 м + 2 y = 3 (7 - 2 x - 3 y - 5 z) + 2 = 3 m + 2 y = 3 (7 - 2x - 3y -5z) + 2 = 3m + 2 с m ∈ Z m ∈ Z m \ in \ Z
Наконец, чтобы получить z z z,
6 х + 10 лет + 15 z = 23 6 х + 10 лет + 15 z = 23 6x + 10 лет + 15z = 23
z = 2 (11 - 3 x - 5 лет - 7 z) + 1 z = 2 (11 - 3 x - 5 лет - 7 z) + 1 z = 2 (11 - 3x - 5y -7z) + 1
z = 2 n + 1 z = 2 n + 1 z = 2n + 1 с n ∈ Z n ∈ Z n \ in \ Z
Итак, пока мы определили,
x = 5 k + 3, y = 3 m + 2, z = 2 n + 1, k, m, n ∈ Z x = 5 k + 3, y = 3 m + 2, z = 2 n + 1, ∀ k, m, n ∈ Z x = 5k + 3, y = 3m + 2, z = 2n + 1, \ forall k, m, n \ in \ Z \ tag * {}
Нам все еще нужно определить отношения между k, m k, m k, m, & n n n, целыми числами. Для этого подставим выражения для x, y, zx, y, zx, y, z в 6 x + 10 y + 15 z = 23 6 x + 10 y + 15 z = 23 6x + 10y + 15z = 23 ,
6 (5 k + 3) + 10 (3 m + 2) + 15 (2 n + 1) = 23 6 (5 k + 3) + 10 (3 m + 2) + 15 (2 n + 1) = 23 6 (5к +3) + 10 (3м + 2) + 15 (2н + 1) = 23
30 (k + m + n) + 53 = 23 30 (k + m + n) + 53 = 23 30 (k + m + n) + 53 = 23
30 (k + m + n) = - 30 30 (k + m + n) = - 30 30 (k + m + n) = -30
k + m + n = - 1 k + m + n = - 1 k + m + n = -1 или k = - (1 + m + n) k = - (1 + m + n) k = - (1 + м + н)
Следовательно,
x = - 2 - 5 м - 5 n x = - 2 - 5 м - 5 n x = -2 - 5 м - 5n \ tag * {}
у = 2 + 3 м у = 2 + 3 м у = 2 + 3 м \ tag * {}
z = 1 + 2 n z = 1 + 2 n z = 1 + 2n \ tag * {}
(x, y, z) = (- 2, 2, 1) + m (- 5, 3, 0) + n (- 5, 0, 2) (x, y, z) = (- 2, 2, 1) + m (- 5, 3, 0) + n (- 5, 0, 2) (x, y, z) = (-2, 2, 1) + m (-5, 3, 0) + n (-5, 0, 2) где m, nm, nm, n - произвольные целые числа. Целочисленные решения - это бесконечное подмножество точек на бесконечной плоскости 6 x + 10 y + 15 z = 23 6 x + 10 y + 15 z = 23 6x + 10y + 15z = 23, изображенных ниже.
ответил(а) 10 месяцев, 1 неделя назад Bernard Blander добавить комментарий
52 6x + 10 y + 15 z = 23
L.C.M. из 6,10 и 15 это 30.
Сначала мы должны получить пробным путем один набор x, y, z, чтобы удовлетворить уравнению. Это может быть достигнуто с x = 3, y = -1 и z = 1
Теперь мы можем добавить пакеты от 30, скажем, от L до 6x, от M до 10 y и от -L-M до 15 z, так что их общее число равно 0.
