Основою піраміди е рiвнобедрений трикутник, бiчна сторона якого до рівнює 10 см, основа - 12 см. Висоти всіх бічних граней дорівнюють 5 см. Обчисліть площу повноï поверхні піраміди,

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

Ті самі питання потрібно...навіть ще більше... ось на 2) :
Вплив людини та біосферуУ процесі своєї господарської діяльності людина здійснює істотний вплив на біосферу. Цей вплив може бути як позитивним, так і негативним. У зв’язку із зростанням кількості людей на планеті, збільшується негативний вплив на живу природу. Це відбувається внаслідок будівництва заводів і фабрик, прокладання доріг, розширення існуючих та створення нових населених пунктів. Під час неконтрольованого полювання на тварин, вилову риби та інших водних організмів, вирубання лісів, використання земель зменшується кількість видів рослин та тварин. Так, з вини людини зникли європейські бики тури, дикі коні тарпани, моська корова. Нині на межі виживання опинилися людинопобідні мавпи, уссурійський тигр, кінь Пржевальського, зубр, степовий орел, окремі види китів, морські котики, тюлені, моржі та багато інших тварин. Рідкісні та зникаючи види тварин та рослин занесені у Червоні книги окремих країн та Міжнародну Червону книгу. Збирання інформації для Червоної книги розпочалося з другої половини ХХ ст. Ця книга виходить протягом чотирьох десятиліть й з кожним наступним перевиданням кількість занесених до неї рослин та тварин зростає. Червона книга України виходить з 1976 року.