На стороне BC треугольнике ABC отметили точку M, MC : BC = 1 : 3. На прямой, проходящей через точку B параллельно AC, отметили точку K так, что точки A, M и K лежат на одной прямой. Найдите площадь треугольника MKC, если площадь треугольника ABC равна 12.

8

Пошаговое объяснение:

S(ABC)=1/2*AC*BC*sinACB

S(AMC)=1/2*AC*MC*sinACB

S(ABC)/S(AMC)=BC/MC=3

S(AMC)=S(ABC)/3=12/3=4

Рассмотрим △BMK и △AMC. У них <AMC=<BMK как вертикальные, <MAC=<MKB как накрест лежащие. => △BMK ～ △AMC и BM/MC=MK/AM=2:1. Пусть МС=х, тогда ВМ=2х, а если АМ=у, то МК=2у.

Рассмотрим △АМВ и △МКС. Очевидно S(AMB)=S(ABC)-S(AMC)=12-4=8.

При этом S(AMB)=1/2*AM*BM*sinAMB=xy*sinAMB.

S(MKC)=1/2*MK*MC*sinCMK=xy*sinCMK=xy*sinAMB, т.к. <AMB=<CMK как вертикальные.

=>S(MKC)=S(AMB)=8