На доске написано 12 различных натуральных чисел, причём их сумма нечётна, а произведение любых 5 из них чётно. Какое наименьшее значение может принимать сумма этих чисел?

Пусть петухов будет х (единиц) , а уток - у (единиц) . Тогда х + 10х + у = 21. Или 11х +у = 21; или у = 21 - 11х. Число у может быть только целым, как и х. Будем подставлять натуральные числа, начиная с наименьшего. Предположить, что х = 0, нельзя, так как петухи все таки были! Предположим, что х = 1. Тогда у = 21 - 11*1 = 10. Возможно. Предположим, х = 2, тогда у = 21 - 11*2 = 21 - 22 = -1. Число петухов не может быть отрицательным, поэтому х не может быть равным 2. Остальные предположения ( х = 3, 4, и так далее) тоже дадут отрицательный результат. Поэтому, х = 1 есть единственное решение уравнения у = 21 - 11*1 = 10 в целых положительных числах. Поэтому петухов было 1 (один) , кур - 10, уток - 10.

Поезда идут с постоянной скоростью
х - скорость пассажирского
у - скорость скорого
1 - весь путь
скорый догнал пассажирский на 1/2 пути (в середине пути), то есть
1/2 пути скорый на 3 часа быстрее, чем пассажирский, значит и вторую половину пройдет на 3 часа быстрее. Значит, пройдя 13/16 всего пути, пассажирскому осталось пройти 1-13/16=3/16 пути за 3 часа. И:
3/16:х=3 (время прохождения остатка пути)
3/16х=3 (умножим на 16х)
3=48х
х=3/48
х=1/16 (скорость пассажирского)
Но, мы знаем, что 1/2 пути скорый быстрее на 3 ч, значит время движения пассажирского на 3 часа больше времен и движения скорого:
1/2:х-1/2:у=3 (умножим на 2ху)
у-х=6ху  (подставим вместо х = 1/16)
у-1/16=6у*1/16
у-1/16=6у/16  (умножим на 16)
16у-1=6у
10у=1
у=1/10 (скорость)
1:1/10=10 (часов)
ответ: скорый пройдет от А до Б за 10 часов

проверка
1:1/16=16 (часов) время пассажирского
16-10=6 (часов) 3 часа на первой половине пути и 3 часа на второй, что и сказано в условии