Можно ли квадрат разрезать на три четырёхугольника, в каждый из которых можно вписать окружность?

Да.

Пусть квадрат ABCD,  построим квадрат AHGE где H,E лежат на AD и AB соответственно,  со стороной AH=(√2-1)*AB, тогда в четырехугольники AHGE , DHGC,  GECB   можно вписать  окружность.  Так как    

DH=AB-AH=(2-√2)*AB и CG=DH*√2=(2-√2)*√2*AB  подставляя DH+CG=CD+HG  (условие вписанной окружности)  получаем верное утверждение.