а) Запишем уравнение в следующем виде: tg(x)dy(x)/dy-y(x)=2
dy(x)/dy=(2-y(x))*ctg(x)
Делим обе части на (2-y(x)):
(dy(x)/dy)/(2-y(x))=ctg(x)
Интегрируем обе части по Х:
инт((dy(x)/dy)/(2-y(x)))=инт(ctg(x)dx)
Получаем: lg(y+2)=lg(sinx)+C1
Т.к. lg(y+2)-lg(sinx)=lg((y+2)/sin(x)), то lg((y+2)/sin(x))=С1
(y+2)/sin(x)=е^C1
y=C1*(sin(x)-2)
б) Запишем характеристическое уравнение: 3*k^2-2*k-8=0
Корни этого уравнения k1=(2-корень(2^2-4*3*(-8)))/(2*3)=-8/6=-4/3
k2=(2+корень(2^2-4*3*(-8)))/(2*3)=2
Решение данного уравнения будет иметь вид e^k*x.
Общее решение: y=e^(-4*x/3)*C1+e^(2x/)*C2
ДАНО: Y(x) = 9/4*x⁴ - 13/3*x² + 1/2 .
ИССЛЕДОВАНИЕ:
Заполняем таблицу - таблица в приложении.
Описание ГЛАЗАМИ: Функция четвертого порядка с положительным коэффициентом - примерно парабола и ветви вверх. Должно быть четыре корня.
1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.
Dx = (-∞;+∞)
2. Корни функции: х1 = - 1,95 и х3 = -0,52. Двух других нет. Нахождение самих корней - без комментариев.
3. Интервалы знакопостоянства (дополнительно к таблице).
Положительна: Y>0 X∈(-∞;-1.95)∪(-0.52;+∞) - вне корней.
Отрицательна: Y<0 X∈(-1.95;-0.52) - между корней.
4. Поиск экстремумов по первой производная функции .
Y'(x) = 9*x³ +13*x² = x²*(x + 13/9) = 0
Точки экстремумов: x 5 = - 13/9 (- 1,44), x6 = 0, x7 = 0
5 Ymin(х5) = Y(-1,44) = , Ymax(х6) = Y(x7) = (не максимальное) = +∞
6. Интервалы монотонности.
Убывает: Х∈(-∞;x5=-0.96) Возрастает: Х∈(х5=-0,96;+∞)
7, Поиск точек перегиба по второй производной
Y"(x) = 27*x² +26х = х*(х + 26/27) = 0
x8 = - 26/27 (≈-0,96) и х9 = 0 - точки перегиба.
8. Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;х8=-0,96)∪(х9=0;+∞) - вне корней.
Выпуклая - "горка" - Х∈(х8=-0,96);(х9=0))
Строим график - график на рисунке в приложении.
