Для наглядности удобно провести некоторое соответствие с трехмерным пространством
Понятно что z(x,y) можно в нем изобразить как некоторую поверхность
Точке (1,4) соответствует 
, т.е. точка 
(*)
Линию 
удобнее записать как трехмерную кривую 
, что будет пересекать поверхность z(x,y) при x=1
Запишем уравнение касательной к этой кривой в точке , в качестве параметра берем переменную x
(#)
(вычисляется по аналогии с 
)
В прикрепленном файле нарисована поверхность, кривая и касательная.
Зная уравнение касательной, построим единичный вектор в направлении убывания x:
Пусть x=0, тогда из (#) получим точку 
Соотв. единичный вектор в направлении этой точки из (*) имеет вид
Понятно что z компонента никак не повлияет на значение производной по направлению, формально вектор можно записать как
И, наконец, найдем искомую производную:
![grad[z(M_0)]\cdot\overset{\rightharpoonup }{n}=\left\{e^4,1 \cdot e^4\right\} \cdot \{-1,4\}\cdot\frac{1}{\sqrt{17} } = \frac{3 e^4}{\sqrt{17}} \approx 39.726](/tpl/images/0992/5590/2e9d7.png)
Пусть х км/ч - скорость Ивана Ивановича, тогда 0,25х км - расстояние, которое он пройдёт до выезда Ивана Петровича; (14 - х) км/ч - скорость сближения при движении вдогонку; 6 мин = (6 : 60) ч = 0,1 ч; 42 мин = (42 : 60) = 0,7 ч. Уравнение:
(14 - х) · 0,1 = 0,25х
1,4 - 0,1х = 0,25х
1,4 = 0,25х + 0,1х
1,4 = 0,35х
х = 1,4 : 0,35
х = 4 (км/ч) - скорость Ивана Ивановича
4 · 0,7 = 2,8 км - расстояние от посёлка до остановки
2,8 : 14 = 0,2 ч = 12 мин - время движения Ивана Петровича до остановки
42 - 12 = 30 мин - на столько быстрее проехал это расстояние Иван Петрович
ответ: 4 км/ч; на 30 мин быстрее.
