Найти область значений функции f(x)=-2x^2+8x+3

Чтобы найти область значений функции f(x)=-2x^2+8x+3, нужно определить все возможные значения y (функции), которые могут быть получены при различных значениях x.

Для начала, можно заметить, что функция является квадратичной функцией (со второй степенью), и открывает вниз (коэффициент при x^2 равен -2, а -2 < 0).

Для того чтобы найти область значений функции, можно использовать несколько подходов.

1. Графический подход:
В данном случае, можно построить график функции f(x)=-2x^2+8x+3 на координатной плоскости. Затем, смотря на график, определить наибольшее и наименьшее значение функции. Те значения y, которые находятся между наибольшим и наименьшим, будут являться областью значений функции.

2. Завершение квадрата:
Для того чтобы найти область значений, можно привести функцию к вершинно-каноническому виду, используя завершение квадрата. В этом виде, можно определить вершину параболы (минимальное значение функции) и использовать это значение для определения области значений.

Давайте воспользуемся вторым подходом.

Сначала, перепишем функцию в вершинно-канонической форме:
f(x) = -2(x^2 - 4x) + 3
f(x) = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3
f(x) = -2((x - 2)^2 - 4) + 3
f(x) = -2(x - 2)^2 + 8 + 3
f(x) = -2(x - 2)^2 + 11

Из данного уравнения видно, что вершина параболы находится в точке (2, 11).

Так как парабола открывает вниз, наименьшим значением фукнции будет y-координата вершины параболы, то есть 11.

Таким образом, наибольшее значение функции будет 11, а наименьшее значение не ограничено (может быть любым отрицательным числом).

Таким образом, областью значений функции f(x)=-2x^2+8x+3 являются все значения y, которые больше или равны 11.