Задача решается с дополнительного построения ( см. рисунок). Продолжим сторону AD вправо от точки D на отрезок DK=9 см. DBCK- параллелограмм (противоположные стороны ВС и DK равны и параллельны) Значит, СК=ВD. Треугольник АСК равнобедренный, основание АК=15+9=24 см. Высота трапеции СН делит основание равнобедренного треугольника пополам. АН=НК=12 см. В прямоугольном треугольнике ACD с основанием AD высота СН делит гипотенузу AD отрезки АН=12 см Обозначим катет CD=x, катет AC=y По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CHD: СH²=x²-3² По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСН: СН²=у²-12² Составляем уравнение х²-9=у²-144 Из прямоугольного треугольника АСD: x²+y²=15² Решаем систему двух уравнений:
x=√180. y=√45
Из равенства площади прямоугольного треугольника, с одной стороны половина произведения катетов, с другой - половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе, получаем: АС·СD=AD·CH ⇒ CH=√180·√45/15=6 см Площадь трапеции S=(9+15)·6/2=72 кв. см.
