Пусть a>0, m∈Z, n∈N, m/n=k∈Z. Отсюда m=nk,
![a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a^{nk}}=\sqrt[n]{(a^k)^n}=a^{k},](/tpl/images/2010/7433/0ead3.png)
что и требовалось доказать.
При a=0 рассуждение работает при натуральном m.
При a<0 возможны проблемы, которые и приводят к тому, что возводить в дробную степень разрешается только положительные числа. Дело в том, что возведение в четную степень убирает минус перед числом, и никакое извлечение корня этот минус не вернет.
Например,
а 
