Даны координаты точек . А( 1; -4; 1), В( 4; 4; 0), С( -1; 2; -4), М( -9; 7; 8).
1) Уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С.
Это уравнение находим из выражения:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Где: (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
Подставив координаты точек, получаем:
-34x + 17y + 34z + 68 = 0. Сократим на минус 17:
2x - 1y - 2z - 4 = 0.
2) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q.
Общее уравнение плоскости имеет вид: Ax+By+Cz+D=0
где n(A=2,B=-1,C=-2)−это нормальный вектор плоскости АВС.
Уравнение прямой, проходящей через точку M(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
(x−x0)/l = (y−y0)/m = (z−z0)/n. Подставим данные и получаем ответ:
ММ1 = (x+9)/2 = (y−7)/(-1) = (z−8)/(-2).
3) Точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, хOz, уОz.
Составим параметрическое уравнение прямой:
t = (x + 9)/2, t = (y − 7)/(−1), t = (z − 8)/(−2).
Выразим переменные x, y, z через параметр t :
x = 2·t − 9 , y = −1·t + 7 , z = −2·t + 8.
Подставим в уравнение плоскости АВС:
2(2t-9) - 1(-1t+7) - 2(-2t+8) - 4 = 0.
4t - 18 + t - 7 + 4t - 16 - 4 = 0.
9t = 45. t = 45/9 = 5.
Подставим значение t в параметрические уравнения ММ1:
x = 2·5 − 9 = 1 , y = −1·5 + 7 = 2 , z = −2·5 + 8 = -2.
М1 = (1; 2; -2). Это точка пересечения полученной прямой с плоскостью Q.
Точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями:
хОу (z = 0): 0 = −2·t + 8, t = 8/2 = 4.
x = 2·4 − 9 = -1 , y = −1·4 + 7 = 3 , z = 0.
М2 = (-1; 3; 0).
хOz (y = 0), 0 = −1·t + 7. t = 7.
x = 2·7 − 9 = 5 , y = −1·7 + 7 = 0 , z = −2·7 + 8 = -6.
М3 = (5; 0; -6).
уОz (x = 0), 0 = 2·t − 9, t = 9/2.
x = 0, y = −1·(9/2) + 7 = 5/2 , z = −2·(9/2) + 8 = -1.
М4 = (0; (5/2); -1).
4) расстояние от точки М до плоскости Q.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Используем формулу: d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| √(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |2·(-9) + (-1)·7 + (-2)·8 + (-4)| /√(2² + (-1)² + (-2)²) = |-18 - 7 - 16 - 4| /√(4 + 1 + 4) = 45/ √9 = 15.
ответ: |ММ1| = 15.
