А(6;3), В(-2;-7), С(-5;3), a ̅=(2;4), b ̅=(-3;1),d ̅=2a ̅+b ̅ а) написать уравнение прямых АВ и АС
б) вычислить угол между этими прямыми через их угловые коэффициенты
в) написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС
г) найти длину высоты треугольника, опущенной из вершины В

Если скорость течения реки составляет 1/7 часть от собственной скорости катера, значит, собственная скорость катера в 7 раз больше скорости течения реки. То есть,

Vс = Vт*7 = 1,5*7 = 10,5 км/ч,

где Vс – собственная скорость катера;

Vт – скорость течения реки.

Если катер движется против течения реки, из его собственной скорости следует вычесть скорость течения реки. Тогда, с учетом времени (2 ч 15 мин = 2+15/60 ч), проведенным катером в пути:

S = V*t = (Vc-Vт)*t1 = (10,5-1,5)*2,25 = 20,25 км,

где S – расстояние, которое пройдет катер, двигаясь против течения;

t1 – время, затраченное на движение катера против течения.

Если катер движется по течению реки, к его собственной скорости следует прибавить скорость течения реки. Тогда, с учетом времени (3 ч 25 мин = 3+25/60 ч), проведенным катером в пути:

S = V*t = (Vc+Vт)*t1 = (10,5+1,5)*(205/60) = 41  км.

ответ. 20,25 км против течения; 41 км по течению.

У правильного тетраэдра DABC все грани и, следовательно, все рёбра равны. Примем ребро равным а, центр основания - точка О (точка пересечения высот).
Проведём осевое сечение через ребро АД.
Имеем равнобедренный треугольник АДЕ, у которого АЕ = ДЕ = а*cos 30 = a√3/2.
Проекция ребра на основание равна (2/3) от высоты треугольника в основании пирамиды, то есть (2/3)*а√3/2 = а√3/3.
По Пифагору высота ДО = √(а² - (а√3/3)²) = √(а² - (а²/3)) = а√(2/3).
Приравняем заданному значению: 2√6 = а√(2/3),
Возведём в квадрат: 24 = а²(2/3) или а² = 36. Отсюда а = √36 = 6.
Отрезок АО = (2/3)АЕ = (2/3)*( a√3/2) = (2/3)*(6√3/2) = 2√3.
ОЕ = (1/2)АО = √3.
Получаем координаты вершин:
А(2√3; 0; 0),
В(-√3; -3; 0),
С(-√3; 3; 0).