Знайти похідну функції а) y=2x^3-6x-10, б)у=х^3*сtgx Знайти стаціонарні точки функції у=2^2+12х+5
Знайти проміжки зростання і спадання функції у=3^2-6х+7
Знайти екстремуми функції у=х^3-6х^3
Скласти рівняння дотичної до графіка функції в задній точці х0.
у=х^3-1, х0 = -1

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(7; 1), B(-5; -4), C(-9; -1).

​ Найти :

1) Длину стороны АВ.

Вектор АВ = (-5-7; -4 - 1) = (-12; -5 ). Модуль равен √((-12)² + (-5)²) = 13.

2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти ,

Уравнение АВ: (х -7)/(-12) = (у - 1)/(-5) это канонический вид.

Угловой коэффициент равен: к(АВ) = Δу/Δх = -5/(-12) = 5/12.

Уравнение АВ в общем виде:

5х - 35 = 12у - 12,

5х - 12у - 23 = 0, направляющий вектор равен (5; -12)

Вектор ВС = (-9-(-5); -1 -(-4)) = (-4; 3). Модуль равен √((-4)² + 3²) = 5.

Уравнение ВС: (х + 5)/(-4) = (у + 4)/3.

или в общем виде 3х +4у + 31 = 0.

Угловой коэффициент равен Δу/Δх = 3/-4 = -3/4.

3) внутрішній кут В в радіанах.

Вектор ВА = -АВ = (12; 5 ), модуль равен √(12² + 5²) = √169 = 13.

Вектор ВС = (-4; 3 ), модуль равен 5.

cos B = (12*(-4)+ 5*3) / (13*5) = -33 /65 ≈ -0,507692308  

B = 2,103300425 радиан

B = 120,5102374 градусов

4) рівняня медіани АЕ ,

Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.

Е = (В(-5; -4)+С(-9; -1)) / 2 = (-7; -2,5).

Вектор АЕ = (-7-7; -2,5-1) = (-14; -3,5).

Уравнение АЕ:  (х - 7)/(-14) = (у - 1)/(-3,5)  

или в целых числах  (х - 7)/28 = (у - 1)/7 .

В общем виде 7х - 28у - 21 = 0.

5) рівняня висоти СД та її довжину ,

Высота СД перпендикулярна стороне АВ:  5х - 12у - 23 = 0.

Уравнение СД имеет вид 12х + 5у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А).

Для определения величины С подставим координаты точки С(-9; -1).

СД: 12*(-9) + 5*(-1) + С = 0, отсюда С = 5 + 108 = 113.

СД: 12х + 5у + 113 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C| √(A² + B²)  

Подставим в формулу данные:

d =   |5·(-9) + (-12)·(-1) + (-23)| /√(5² + (-12)²)  =   |-45 + 12 - 23| /√(25 + 144)  =

=   56 /√169  =   56/ 13  ≈ 4.30769.

Для определённости пронумеруем виды трёхслойного куба (далее куб) по порядку по строкам. Так, например, третий – это полностью симметричный.

Далее, для описания манипуляций с видами будем использовать термины:

RT (правый единичный поворот на 90 градусов по часовой стрелке) ,
LT (левый единичный поворот на 90 градусов против часовой стрелки) ,
UT (разворот на 180 градусов)

Наша начальная цель: собрать из пяти видов верхнюю часть куба, т.е. его грани, стоящие над столом. Будем считать, что мы смотрим на стол с кубом сверху. Верхнюю часть куба, состоящую из пяти видов, будем собирать в виде крестовой раскладки.

В центре креста раскладки будет верхняя грань, которая смотрит на нас, когда мы смотрим вниз на стол с кубом. Дальняя от нас (сверху экрана, если смотреть на ноутбук) часть креста раскладки: это задняя сторона куба. Ближняя к нам (снизу экрана, если смотреть на ноутбук) часть креста раскладки: это передняя сторона куба. Левая часть креста раскладки – это левая сторона куба и правая часть раскладки – соответственно правая сторона.

Важно понимать, что на стыках видов (на рёбрах) при составлении раскладки должны совпадать цветные квадратики на краях видов: чёрный к чёрному и белый к белому, поскольку рёбра куба одновременно являются и рёбрами маленьких кубиков, каждый из которых обладает однотонным окрасом со всех сторон.

Перебор возможных вариантов удобно делать на черновике с карандашом и бумагой, либо с ручкой, но тогда нужно зачёркивать неудачные варианты.

Перебор должен быть системным, иначе мы пропустим тот или иной вариант, и можем пропустить и нужный нам вариант. В качестве системы можно предложить, например, такой график просмотра вариантов.

1. Выбираем вид для верхней грани куба, т.е. для центра креста раскладки (сначала первый, потом второй и т.д.)

2. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной) грани, пытаемся подмонтировать в качестве задней грани к нему другие виды. Опять же по порядку видов.

3. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной) и задней граней, пытаемся подмонтировать в качестве правой грани к нему другие виды. Опять же по порядку видов.

4. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной), задней и правой граней, пытаемся подмонтировать в качестве передней грани к нему другие виды. Опять же по порядку видов.

5. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной), задней, правой и передней граней, пытаемся подмонтировать в качестве левой грани к нему оставшийся вид.

При этом нужно следить, чтобы совпадали рёбра не только верхней (центральной) грани с боковыми, но и рёбра между боковыми гранями.

Перед перебором нужно отметить, что грани 3-его и 5-ого видов – несовместимы. Как их не крути, их рёбра никогда не совместятся. Значит, ни один из этих видов не может служить верхней гранью куба, поскольку иначе он бы взаимодействовал по ребру с несовместным видом. Кроме того, эти несовместные виды не могут быть рядом и на соседних боковых гранях. Таким образом, мы понимаем, что при переборе 3-ий и 5-ый виды можно размещать только на противоположных гранях.

Последовательный перебор из, примерно десятка неудачных – приводит к единственному хорошему варианту:

В центре креста раскладки: 2-ой вид.
Слева: 3-ий вид.
Справа: 5ый вид RT.
Сзади: 1-ый вид.
Впереди: 4-ый вид UT.

Эта раскладка показана на первом рисунке. Обратите внимание, что по раскраске совмещены не только рёбра на стыке видов центральных и боковых граней, но и рёбра на стыке соседних боковых граней.

Теперь очень аккуратно в строгом соответствии с буквами-метками (они должны совместиться) переворачиваем раскладку, так чтобы получилась нижняя грань. Это показано на втором рисунке и там уже проявляется по совмещениям на рёбрах вид нижней грани.

Если взглянуть на предлагаемые варианты, то мы можем легко убедиться, что подходит и вариант (А) и вариант (Д) при повороте их на LT.

Выбрать нужный вариант – можно только сосчитав количество белых (их должно быть 12) и чёрных кубиков (их должно быть 15).

Смотрим на первую раскладку. На верхней грани – 3 белых. В среднем видимом слое, в том, что зажат между верхней и нижней гранью (состоящем из 8 кубиков) – 4 белых. В нижней грани (что можно увидеть на второй картинке) – как минимум 3 кубика.

Всего в видимой и известной части кубика мы насчитали 10 белых кубиков. А должно их быть 12. Значит, один белый кубик находится в центре куба (он невидим) и ещё один белый кубик мы можем разместить в положение, отмеченное на втором рисунке знаком вопроса.

А значит, окончательно, нам подходит вариант (Д)

О т в е т :