Производная функции z=6x^2y в направлении вектора a⃗ ={4;3} равна

Для нахождения производной функции z = 6x^2y в направлении вектора a⃗ = {4;3} используется формула производной по направлению:

Df(a⃗ ) = (∂f/∂x) * ax + (∂f/∂y) * ay

где ax и ay - компоненты вектора a⃗.

Сначала найдем частные производные функции z = 6x^2y по переменным x и y. Для этого применим правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования по переменной:

∂f/∂x = ∂/∂x(6x^2y) = 12xy
∂f/∂y = ∂/∂y(6x^2y) = 6x^2

Теперь подставим найденные значения в формулу для производной по направлению:

Df(a⃗ ) = (∂f/∂x) * ax + (∂f/∂y) * ay
= (12xy) * 4 + (6x^2) * 3

Осталось только упростить выражение:
Df(a⃗ ) = 48xy + 18x^2

Таким образом, производная функции z = 6x^2y в направлении вектора a⃗ = {4;3} равна 48xy + 18x^2.