Вычисление двойных интегралов

Площадь треугольника BOK равна KB*KO/2 (так как BKO прямой)

Угол OBK=альфа/2, так как BO биссектриса

Если обозначить точки касания на сторонах AB и AC через L и M соответственно и рассмотреть треугольники образованные точками касания, соседними вершинами треугольника и центром окружности, то окажется, что есть пары равных треугольников, из чего следует, что LB=KB, KC=MC, MA=LA. Подставляя эти равенства в LA+LB+KB+KC+MC+MA=2p, получаем 2MC+2MA+2KB=2p, откуда MC+MA+KB=p. С другой стороны, MC+MA=AC=a, поэтому KB=p-a

Тогда из треугольника OBK OB=KB*tg(альфа/2)=(p-a)*tg(альфа/2)

Подставляя в формулу для площади получим

S=((p-a)^2*tg(альфа/2))/2

1) S=36 см² площадь прямоугольника. Найдем все возможные стороны a  b прямоугольника.
Они должны быть делителями 36.
a=1 см b=36 cм
S=1*36=36 см²
Р=2(a+b)=2*(1+36)=74 см периметр

a=2 см b=18 cм
S=2*18=36 см²
Р=2(a+b)=2*(2+18)=40 см

a=3 см b=12 cм
S=3*12=36 см²
Р=2(a+b)=2*(3+12)=30 см периметр

a=4 см b=9 cм
S=4*9=36 см²
Р=2(a+b)=2*(4+9)=26 см периметр

a=6 см b=6 cм исходный квадрат
S=6*6=36 см²
Р=2(a+b)=2*(6+6)=24 см периметр

2)
Поскольку у равностороннего треугольника все стороны равны.
То можно выбрать периметр прямоугольника из предыдущего пункта
Р=30 см
Р=а+а+а=3а=30 см
3а=30
а=10 см - сторона треугольника