Докажите,что уравнение имеет решение в целых числах

Ну раз уж не просят найти все решения, то очевидно, что x=y=0 удовлетворяет условию задачи. А если находить все решения, то только так:
xy=2003(x+y)
xy-2003x-2003y+2003*2003=2003*2003
(x-2003)(y-2003)=2003*2003
2003 простое = > имеем 8 систем уравнений, каждое из которых дает решение уравнения