Числа от 1 до 600 выписаны в строчку в некотором порядке. сумма любых двух соседних чисел не превосходит 800. докажите, что сумма каких-то двух чисел, стоящих через одно, больше 800. : )

Ну, чтобы выполнялось первое условие, необходимо, чтобы рядом с числами из шестой сотни рядом не было чисел из 4-й и 5-й сотни. Тогда числа из 4-й и 5-й сотни расположены либо рядом, либо через одно(для простоты можно рассмотреть перестановки ряда 1 2 3 4 5 6). А средняя сумма, т.е. минимальная возможная сумма всех пар чисел из 4-й и 5-й сотни будет равна 301+500=901. Тогда не выполняется либо первое условие, либо второе.