Представим четырехзначное число в виде abcd, тогда
1000a + 100b + 10c + d = 19 * (100b + 10c + d)
1000a + 100b + 10c + d = 1900b + 190c + 19d
1000a = 1800b + 180c + 18d = 18 * (100b + 10c + d)
(100b + 10c + d) = 1000a / 18 - целое число
Найдем такие а, что 1000a / 18 - целое число
а = 1: 1000 / 18 = 55.55
а = 2: 2000 / 18 = 111.11
а = 3: 3000 / 18 = 166.66
а = 4: 4000 / 18 = 222.22
а = 5: 5000 / 18 = 277.77
а = 6: 6000 / 18 = 333.33
а = 7: 7000 / 18 = 388.88
а = 8: 8000 / 18 = 444.44
а = 9: 9000 / 18 = 500
Отсюда b = 5, с = 0, d = 0
Искомое число - 9500
Пошаговое объяснение:
заменим для удобства n+1=m
n³+(n+1)³ + (n+2)³=(m-1)³+m³+(m+1)³=
=m³ +(m-1+m+1)((m-1)²-(m-1)(m+1)+(m+1)²)=
= m³+2m( m²-2m+1- m²+1+ m²+2m+1)=
=m³+2m (m²+3)= 3m³+6m=3m (m²+2)
чтобы доказать , что 3m (m²+2) делится на 9, мы докажем, что выражение m(m²+2) делится на 3
используем мат.индукцию:
1) при m=2
m(m²+2)=2•(2²+2)=3•6=18 делится на 6
2) теперь при m=k
k(k²+2) делится на 3
3) докажем равенство при m=k+1
(k+1)((k+1)²+2)=((k+1)³+2k+2)= k³+3k²+3k+1+2k+2=
=k³+3k²+5k+3= k(k²+2)+ 3(k²+k+1)
первое слагаемое делится на три, второе тоже, значит (k+1)((k+1)²+2) делится на 3
А это значит, что по матиндукции
мы доказали, что m(m²+2) делится на 3 , при целых m≥2
а это означает, что 3m (m²+2) делится на 9
то есть (m-1)³+m³+(m+1)³ делится на 9 при целых m≥2
а это значит:
n³+(n+1)³ + (n+2)³ делится на 9 при натуральных n
