Решить задачу: 23 гнома добывают драгоценные камни в узкой (вдвоём не разойтись) прямой пещере длиной 120 метров с двумя выходами в противоположных концах. Происходит землетрясение, и все гномы начинают бежать с постоянной скоростью 2 м/с в одном из 2-х доступных направлений. Если гном добегает до выхода из пещеры, то он выбегает и не возвращается. Если 2 гнома сталкиваются, то оба в панике мгновенно разворачиваются и бегут в обратные стороны. За какое время все гномы точно выбегут из пещеры?

Х - скорость велосипедиста, (х + 30) - скоросьь мотоциклиста. 
Время мотоциклиста в пути = времени велос. - 30 мин - 15 мин. 
45 минут переводим в часы: 45: 60 = 0,75 ч.
Время велос. = 10÷х. Время мот. = 10÷ (х+30) . 
10÷(х+30) = 10÷х - 0,75 ч 

Приводим дроби к общему знаменателю, числитель приравниваем к нулю, получаем
 -0,75х² - 22,5х + 300=0   (поделим на -0,75)
Получим х² +30х -400=0 
Решаем квадратное уравнение через дискриминант
Д = 900 +1600 = 2500
х = (- 30 +50) / 2 = 10
Скорость велос. 10 км/ч, скорость мотоциклиста 30+10 = 40 км/ч

По теореме Пифагора гипотенуза равна 15.
Центр описанной окружности - середина гипотенузы.
Радиус вписанной окружности равен (9 + 12 - 15) / 2 = 3(по свойству касательных).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центрами окружностей и точкой касания гипотенузы вписанной окружностью.
Гипотенуза - искомое расстояние
Один катет равен радиусу вписанной окружности
Другой катет = половине гипотенузы - (меньший катет - радиус вписанной окружности) = 15/2 - (9 - 3) = 3/2(по свойству касательных).
Тогда квадрат расстояния между центрами найдем по теореме Пифагора:
3 * 3 + 3/2 * 3/2 = 9 + 9/4 = 45/4
удвоенный квадрат расстояния равен
45/4 * 2 = 45/2 = 22,5
ответ 22,5