Окружность с центром O вписана в угол BAC, B и C - точки касания. Отрезки AO и BC пересекаются в точке K, OK =4 см, OB =8 см. Найти AK

Это этот вопрос? AB = BC = CD = AD = BM + MC = 4 + 9 = 13 - сторона квадрата =>
S (ABCD) = AB^2 = 13^2 = 169
AK = BM = CT = DP = 4 >
KB = MC = TD = PA = 9 =>
S (KBM) = S (MCT) = S (TDP) = S (PAK) = 1\2 * AK * AP = 1\2 * 4 * 9 = 18 - площадь одного треугольника =>
S (KMTP) = S (ABCD) - 4*S (KBM) = 169 - 4*18 = 97
или другой вариант решения:
треугольники KBM = MCT = TDP = PAK по двум сторонам и углу (90 град) между ними =>
KM = MT = TP = PK = V(KB^2 + BM^2) = V(9^2 + 4^2) = V97 - сторона внутреннего квадрата, а KMTP - квадрат, так как:
L BKM + L BMK = 90 град.
Треугольники равны => равны и их соответственные углы =>
L BKM = L CMT =>
L BKM + L CMT = 90 град =>
L KMT = 180 - (L BKM + L CMT) = 180 - 90 = 90 град. =>
S (KMTP) = KM^2 = (V97)^2 = 97

Замена переменной

х+у= u
xy = v

x²+y²=(x+y)²-2xy=u²-2v

Cистема примет вид

(u²-2v)·u=65
vu=30                    ⇒    v=30/u         и  подставим  в первое уравнение:

u³-60=65        ⇒  u³=125    ⇒  u = 5   
                                                  v=6              

Решаем  систему

  х + у = 5                        
  ху = 6     

Выразим у из первого уравнения   у=5-х    и подставим во второе

  х·(5-х)=6
х²-5х+6=0
D=25-24=1
                         

х₁=2    или    х₂=3                
у₁=3              у₂=2                 

ответ. (2;3); (3;2)