1.Даны векторы a{3, 4, 1}, b{4, -1, 3}, c{1, 4, -5}. Найти: 1)Длины этих векторов; 2)Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними;
3)Векторное произведение и площадь треугольника, построенного на этих векторах;
4)Смешанное произведение и объем тетраэдра, построенного на этих векторах.​

1) Для нахождения длины вектора необходимо применить формулу:
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Подставляя значения координат вектора a, получаем:
|a| = √(3² + 4² + 1²)
|a| = √(9 + 16 + 1)
|a| = √26

Аналогичным образом находим длины векторов b и c:
|b| = √(4² + (-1)² + 3²)
|b| = √(16 + 1 + 9)
|b| = √26

|c| = √(1² + 4² + (-5)²)
|c| = √(1 + 16 + 25)
|c| = √42

2) Для нахождения скалярного произведения векторов необходимо применить формулу:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Подставляя значения координат векторов a и b, получаем:
a · b = 3*4 + 4*(-1) + 1*3
a · b = 12 - 4 + 3
a · b = 11

Для нахождения косинуса угла между векторами, можно использовать следующую формулу:
cos(α) = (a · b) / (|a| * |b|)

Подставляя значения, получаем:
cos(α) = 11 / (√26 * √26)
cos(α) = 11 / 26
cos(α) ≈ 0.423

3) Для нахождения векторного произведения двух векторов необходимо применить формулу:
a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Подставляя значения координат векторов a и b, получаем:
a × b = (4*1 - 1*3, 1*4 - 3*4, 3*(-1) - 4*1)
a × b = (4 - 3, 4 - 12, -3 - 4)
a × b = (1, -8, -7)

Для нахождения площади треугольника, построенного на векторах a и b, можно вычислить половину модуля векторного произведения:
S = 1/2 * |a × b|

Подставляя значения, получаем:
S = 1/2 * √(1² + (-8)² + (-7)²)
S = 1/2 * √(1 + 64 + 49)
S = 1/2 * √114
S ≈ 5.34

4) Для нахождения смешанного произведения векторов необходимо применить формулу:
a · (b × c)

Подставляя значения координат векторов a, b и c, получаем:
a · (b × c) = 3 * ( -8 - (-7) ) - 4 * ( -1 - (-7) ) + 1 * ( -4 - 1 )
a · (b × c) = 3 * ( -8 + 7 ) - 4 * ( -1 + 7 ) + 1 * ( -4 - 1 )
a · (b × c) = 3 * ( -1 ) - 4 * ( 6 ) + 1 * ( -5 )
a · (b × c) = -3 - 24 - 5
a · (b × c) = -32

Для нахождения объема тетраэдра, построенного на векторах a, b и c, можно вычислить половину модуля смешанного произведения:
V = 1/6 * |a · (b × c)|

Подставляя значение, получаем:
V = 1/6 * | -32 |
V = 32/6
V ≈ 5.33

Таким образом, ответ:
1) Длина вектора a ≈ √26, Длина вектора b ≈ √26, Длина вектора c ≈ √42.
2) Скалярное произведение векторов a и b = 11, Косинус угла между векторами a и b ≈ 0.423.
3) Векторное произведение векторов a и b = (1, -8, -7), Площадь треугольника = 5.34.
4) Смешанное произведение векторов a, b и c = -32, Объем тетраэдра ≈ 5.33.