ABCD - прямоугольник, площадь которого равна 300 см². Вычислите площадь треугольника ABE. Выберите правильный ответ: а) 35см²
б) 70см²
в) 150см²
г) 300см²

Обозначим собственную скорость катера w, а скорость течения v.

Тогда скорость по течению будет w+v, а против течения w-v.

Время по течению t1 = S/(w+v), время против течения t2 = S/(w-v)

Скорость течения v и времена t1 и t2 нам известны, нужно найти w.

Получается система:

{ w + v = S/t1

{ w - v = S/t2

Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение

w + v - (w - v) = S/t1 - S/t2

2v = S*(1/t1 - 1/t2) = S*(t2 - t1)/(t1*t2)

Отсюда находим расстояние S, которое катер туда и обратно.

S = 2v*(t1*t2)/(t2 - t1)

Теперь вернемся к системе и сложим уравнения.

w + v + w - v = S/t1 + S/t2 = S*(1/t1 + 1/t2) = S*(t2 + t1)/(t1*t2)

2w = 2v*(t1*t2)/(t2 - t1)*(t2 + t1)/(t1*t2)

Сокращаем обе части на 2, и справа сокращаем t1*t2

w = v*(t2 + t1)/(t2 - t1)

Среди 9 боковых рёбер есть 5 одинаково окрашенных, без ограничения общности будем думать, что в красный цвет. Рассмотрим вершины, из которых исходят эти красные боковые рёбра. Занумеруем эти вершины по кругу номерами 1, 2, 3, 4, 5. Среди отрезков 12, 23, 34, 45, 51 есть как минимум одна диагональ, пусть это 12. Рассмотрим треугольник 124, он составлен из диагоналей. Если все его стороны синие, то он одноцветный, если есть хотя бы одна красная сторона, то она соединяет два красных боковых ребра и вновь нашёлся одноцветный треугольник. В любом случае найдется треугольник, три отрезка которого окрашены одинаково, что и требовалось доказать.